Zeigen Sie, dass für ∥ · ∥ genau dann die Dreieckungleichung gilt, wenn B1(0) := {v ∈V : ∥v∥ ≤ 1} konvex ist.

Question

Aufgabe:

Es sei V ein normierter ℝ-Vektorraum und ∥· ∥ : V → ℝ_≥0 eine homogene Abbildung,

d. h. ∥av∥ = |a|∥v∥ für alle a ∈ ℝ und v ∈ V. Beweisen Sie, dass für ∥ · ∥ genau dann die Dreieckungleichung gilt,

wenn B₁(0) := {v ∈V : ∥v∥ ≤ 1} konvex ist. (Erinnerung: Eine Menge A ⊂ V heißt konvex, wenn für alle x, y ∈ A und λ ∈ [0,1] gilt, dass λx+ (1−λ)y ∈ A

Comments

Hallo,

Du könntest uns ja schonmal bestätigen, dass Du eine "Richtung" der Aussage selbst beweisen kannst, nämlich, dass aus der DUngleichung die Konvexität der Einheitskugel folgt.

Gruß Mathhilf