Bestimme Bisektor unter Maximums- und Summennorm

Question

Aufgabe:

Bestimme die Menge aller Punkte, die die gleiche Distanz zu den beiden Punkten P = (0,0) und Q = (4,0) haben, wenn die Distanz mittels der Norm:

a) $$\|•\|_1$$

bzw.

b) $$\|•\|_\infty$$

bestimmt wird.

Problem/Ansatz:

a) ist recht einfach, ich komme auf die Gerade x=2 als Menge aller Punkte.

b) ist schon interessanter, ich füge mal ein Bild ein, das macht es einfacher. Die Lösungsmenge sind die beiden dunklen Bereiche in denen y größer als x Betrag und (x-4) Betrag ist bzw. kleiner als -(x Betrag) und kleiner

als -((x-4) Betrag) sowie die Strecke x=2 zwischen (2,0) und (2,2).

Macht das so Sinn?

Danke

Comments

Ich ergänze mal etwas den Rechenweg.

Zu a) bei der Summennorm muß also gelten:

lx-0l + ly-0l = |x-4l + ly-0l

und daraus folgt das lxl = lx-4l mit der einzigen Lösung x=2 für alle y.

Zu b) bei der Maximumsnorm muß also gelten:

max{lxl,lyl} = max{lx-4l,lyl}

Nun eine Fallunterscheidung mit y>lxl und y>lx-4l bzw. y<-lxl und y<-lx-4l

liefert die dunklen Bereiche im Diagramm.

x=2 liefert die Strecke,

Ansonsten gibt es keine Lösung der Gleichung.

Ist der Gedankengang korrekt?