Euklidische Norm, Summen Norm, Maximums Norm, Verständnisproblem.

Question

Ich hab folgendes Problem:

Es seien $\mathbb{R}_{+}:=\{x \in \mathbb{R} | x \geq 0\},\|\cdot\|_{1}: \mathbb{C}^{n} \rightarrow \mathbb{R}_{+}$ und $\|\cdot\|_{\infty}: \mathbb{C}^{n} \rightarrow \mathbb{R}_{+}$ gegeben durch
$$\|v\|_{1}:=\sum \limits_{i=1}^{n}\left|v_{i}\right| \quad \text { und } \quad\|v\|_{\infty}:=\max _{i=1, \ldots, n}\left|v_{i}\right| \quad \forall v=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)^{T} \in \mathbb{C}^{n}$$
Ferner sei $\|\cdot\|_{2}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}_{+}$ die Euklidische Norm, d.h.
$$\|v\|_{2}:=\left(\sum \limits_{i=1}^{n}\left|v_{i}\right|^{2}\right)^{1 / 2} \quad \forall v=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)^{T} \in \mathbb{C}^{n}$$
Zeigen Sie, dass
$$\|u\|_{1} \leq \sqrt{n}\|u\|_{2} \leq n\|u\|_{\infty} \leq n\|u\|_{1} \quad \forall u \in \mathbb{C}^{n}$$ 

Also ich hab mir überlegt als Ansatz:

||u||_{1 ≤} ∑ |u_i| = 1 * ∑ |u_i| = <e,|u|> ≤ ||e||₂ * ||u||₂ = (∑ |e_i|²)^1/2 * ||u||₂ = √n*||u||₂

_{Nur komme ich jetzt hier nicht weiter bzw. hab den Faden verloren, was ich jetzt als nächstes machen muss. Kann mir da jemand Aufschluss geben?}

_:)

Answer 1

Die nächste ungleichung ist:

$$||u||_2=(\sum |u_i|^2)^{1/2} \leq (\sum ||u||_\infty^2)^{1/2} =\sqrt{n} ||u||_\infty$$