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Ich hab folgendes Problem:

Es seien \( \mathbb{R}_{+}:=\{x \in \mathbb{R} | x \geq 0\},\|\cdot\|_{1}: \mathbb{C}^{n} \rightarrow \mathbb{R}_{+} \) und \( \|\cdot\|_{\infty}: \mathbb{C}^{n} \rightarrow \mathbb{R}_{+} \) gegeben durch
$$ \|v\|_{1}:=\sum \limits_{i=1}^{n}\left|v_{i}\right| \quad \text { und } \quad\|v\|_{\infty}:=\max _{i=1, \ldots, n}\left|v_{i}\right| \quad \forall v=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)^{T} \in \mathbb{C}^{n} $$
Ferner sei \( \|\cdot\|_{2}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}_{+} \) die Euklidische Norm, d.h.
$$ \|v\|_{2}:=\left(\sum \limits_{i=1}^{n}\left|v_{i}\right|^{2}\right)^{1 / 2} \quad \forall v=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)^{T} \in \mathbb{C}^{n} $$
Zeigen Sie, dass
$$ \|u\|_{1} \leq \sqrt{n}\|u\|_{2} \leq n\|u\|_{\infty} \leq n\|u\|_{1} \quad \forall u \in \mathbb{C}^{n} $$ 


Also ich hab mir überlegt als Ansatz:

||u||1 ≤ ∑ |ui| = 1 * ∑ |ui| = <e,|u|> ≤ ||e||2 * ||u||2 = (∑ |ei|2)1/2 * ||u||2 = √n*||u||2

Nur komme ich jetzt hier nicht weiter bzw. hab den Faden verloren, was ich jetzt als nächstes machen muss. Kann mir da jemand Aufschluss geben?

:)

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Die nächste ungleichung ist:

$$||u||_2=(\sum |u_i|^2)^{1/2} \leq (\sum  ||u||_\infty^2)^{1/2} =\sqrt{n} ||u||_\infty$$

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