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Aufgabe: Bestimmung der Definitheit der Matrix

-3-21
2-32
12-10


Problem/Ansatz: Ich weiß nicht, wie ich fortfahren soll. Die Matrix ist nicht symmetrisch und bei der Berechnung der Eigenwerte erhalte ich folgendes Polynom: -λ3-16λ2-60λ-115

|A-λE_3| = 

det

-3-λ-21
2-3-λ2
12-10-λ

 = (-3-λ)^2 * (-10-λ) -4 + 4 - (-3-λ) - 4(-3-λ)

Kann mir hier jemand helfen. Wie soll ich von diesem Polynom die Nullstellen finden (händisch). Oder gibt es einen anderen Weg die Definitheit zu bestimmen?



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Betrachte die symmetrische Matrix \(\tilde A=\tfrac12\big(A+A^\top\big)\).
Deren charakteristisches Polynom ist
\(\quad p(\lambda)=-\lambda^3-16\lambda^2-64\lambda-75\)
und hat offenbar drei negative Nullstellen.
Siehe dazu auch https://mathepedia.de/Definitheit.html.

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Kann man auch die Hauptminoren bestimmen. Mit \(\tilde A=\tfrac12\big(A+A^\top\big)\) erhalte ich:

-4,501
0-4,52
120

|H_1| = -4,5
|H_2| = 20,25
|H_3| = 22,5

Die Matrix ist somit indefinit oder ist das falsch? Kann bei der Vorzeichenfolge ++- oder -++ überhaupt eine Aussage über die Definitheit gemacht werden?

Diese Methode funktioniert auch.
Nach meinen Berechnungen ist allerdings \(\tilde A=\tfrac12\big(A+A^\top\big)=\small\begin{pmatrix}-3&0&1\\0&-3&2\\1&2&-10\end{pmatrix}\).
Wenn die Vorzeichen der Hauptminoren alternieren, beginnend mit Minus, dann ist die Matrix \(\tilde A\) und damit auch \(A\) negativ definit. Das ist hier der Fall.

Hab den Fehler gefunden. Vielen Dank.

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