Widerlegen Sie oder beweisen Sie folgende Aussagen zu Vektorräumen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien Vektorräume \( U, V, W \) über einem Körper \( K \) sowie lineare Abbildungen \( f: U \rightarrow V \), \( g: V \rightarrow W \).

Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen.
1. Wenn \( g \circ f=0 \), dann ist \( f=0 \) oder \( g=0 \).
2. Es sei \( \mathbf{u} \in U \) und \( \mathbf{v}=f(\mathbf{u}) \). Dann gilt: \( f^{-1}(\mathbf{v})=\mathbf{u}+\operatorname{ker} f \), wobei
\( \mathbf{u}+\operatorname{ker} f=\{\mathbf{u}+\mathbf{x} \in U \mid \mathbf{x} \in \operatorname{ker} f\} .\)
3. Wenn \( \mathbf{u}_{1}, \ldots, \mathbf{u}_{n} \) ein Erzeugendensystem für \( U \) ist, dann ist \( f\left(\mathbf{u}_{1}\right), \ldots, f\left(\mathbf{u}_{n}\right) \) auch ein Erzeugendensystem für \( V \).
4. Wenn \( \mathbf{u}_{1}, \ldots, \mathbf{u}_{n} \in U \) sodass \( f\left(\mathbf{u}_{1}\right), \ldots, f\left(\mathbf{u}_{n}\right) \) linear unabhängig sind, dann sind auch \( \mathbf{u}_{1}, \ldots, \mathbf{u}_{n} \) linear unabhängig.

Problem/Ansatz:

Ich benötige dieses eine mal den kompletten Lösungsweg für die Aufgabe.

Answer 1

1. ist falsch. Jede lineare Abbildung lässt sich umkehrbar eindeutig durch die Bilder der Basisvektoren charakterisieren. Verwende das um ein Beispiel zu finden.

2. ist wahr. Wende die Linearität von \(f\) auf \(f(\mathbf{u} + \mathbf{x}) = \mathbf{v}\) an.

3. ist falsch. \( f\left(\mathbf{u}_{1}\right), \ldots, f\left(\mathbf{u}_{n}\right) \) ist ein Erzeugendensystem von \(\operatorname{Bild} f\).

4. ist wahr. Ist \(\sum_{i=1}^na_i\mathbf{u}_i = 0\), dann ist \(f\left(\sum_{i=1}^na_i\mathbf{u}_i\right) = 0\). Verwende die Linearität von \(f\) um zu zeigen dass dann \(a_i=0\) für alle \(i\in \left\{1,\dots,n\right\}\) ist.

Comments

@M : Beachte, dass bei 2. die Gleichheit zweier Mengen nachzuweisen ist.