Wie berechnet man: rot(ra) mit r = |r|, a = const

Question

Aufgabe:

$\text{rot}(r \vec{a}) \text{ mit } r = |\vec{r}|, \; \vec{a} = \text{const}$

Problem/Ansatz:

Wie berechnet man es genau?

Answer 1

Verwende die Definition

$\displaystyle\operatorname{rot}(\vec{F})=\begin{pmatrix} \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \end{pmatrix}$

mit $\vec{F}=|\vec{r}|\vec{a}$.

Ich gehe mal davon aus, dass $\vec{r}=\begin{pmatrix}x\\ y\\z \end{pmatrix}$ ein Ortsvektor ist. Dann ist $|\vec{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Da $\vec{a}$ konstant ist, wähle zum Beispiel $\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$.

Es gilt dann beispielsweise (Kettenregel) $\frac{\partial F_z}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(a_3\sqrt{x^2+y^2+z^2})=\frac{a_3y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{a_3y}{r}$. Die restlichen partiellen Ableitungen berechnen sich analog. Das Muster sollte schnell ersichtlich sein.

Comments

Wo kommt so etwas vor in der Naturwissenschaft?

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rot steht für die Rotation eines Vektorfeldes und kommt bspw. in der Strömungsmechanik vor zur Berechnung von Strömungen und Wirbeln. Damit lassen sich Strömungen bei Gewässern, in der Luftfahrt oder der Meteorologie untersuchen, etwa bei Tornados.

Elektrodynamik, elektrische und magnetische Strömungsfelder.

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Wo kommt so etwas vor in der Naturwissenschaft?

Z.B. in den Maxwellschen Gleichungen, speziell im Induktionsgesetz.

$\operatorname{rot} \vec{ E} =-\dfrac{\partial B}{\partial t}$

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