(2):
\( 4^{n} \leq(2 n)^{1+\sqrt{2 n}} \cdot \prod \limits_{\sqrt{2 n}<p \leq \frac{2}{3} n} p \cdot \prod \limits_{n<p \leq 2 n} p \quad \text { für } n \geq 3 \text {. } \)
Aus solchen Abschätzungen kann man noch mehr herausholen: Aus (2) kann man mit denselben Methoden
\( \prod \limits_{n<p \leq 2 n} p \geq 2^{\frac{1}{30} n} \quad \text { für } \quad n \geq 4000 \)
ableiten und damit, dass es mindestens
\( \log _{2 n}\left(2^{\frac{1}{30} n}\right)=\frac{1}{30} \frac{n}{\log _{2} n+1} \)
Primzahlen in dem Bereich zwischen \( n \) und \( 2 n \) gibt.
Das ist keine schlechte Abschätzung: die „wahre" Zahl der Primzahlen in diesem Bereich ist ungefähr \( n / \log n \). Dies folgt aus dem „Primzahlsatz", der besagt, dass der Grenzwert
Problem/Ansatz:
Der Auszug stammt aus dem Beweis von Paul Erdös:
Ich habe bei dem Bertradsche Postulat keine Idee wie ich aus (2) auf die Ungleichung, die letztendlich die Abschätzung liefert, kommen soll.
Auch sehe ich nicht, wie n/log(n) und 1/30 n/(log2(n)+1) nah aneinander liegt. Zum Beispiel erhalte ich für n = 4000 mit der „wahren“ Abschätzung etwa 482 Primzahlen, während die hergeleitete Formel nur ca. 11 Primzahlen ergibt. Diese Differenz scheint mir ungewöhnlich groß zu sein, weshalb ich mich frage: Ist diese Abschätzung korrekt, oder verstehe ich hier etwas falsch? Oder geht es hier viel mehr darum, dass die Formeln sich ähneln?
