Surjektivität der Funktion beweisen (Gegenbeispiel)

Question

Aufgabe:

Beweise ob die Funktion f surjektiv ist.

f: R -> R² , x -> (x, x² )

Problem/Ansatz:

Ich kann mir gar nicht vorstellen wie da mein Lösungsweg ausschauen könnte. Ich weiß, dass sie nicht surjektiv ist und es wurde mit dem Paar (0, -1) begründet. Warum kann ich das mit dem Paar begründen? -1 müsste ja 0² sein damit ich das so begründen kann, oder?

Answer 1

Aloha :)

Surjektiv bedeutet, dass jedes(!) Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen werden muss. Bei der Funktion$$t\colon\mathbb R\to\mathbb R^2\,;\,x\mapsto(x;x^2)$$befindet sich z.B. der Punkt $(0;1)$ in der Zielmenge $\mathbb R^2$.

Es gibt aber kein $x$ in der Definitionsmenge $\mathbb R$ mit $x=0$ und $x^2=1$. Daher wird der Punkt $(0;1)$ aus der Zielmenge von keinem $x$ aus der Definitionsmenge getroffen.

Die Funktion ist also nicht surjektiv.

Comments

perfekt danke!!!

Answer 2

Findest du ein Urbild zu $(0,-1)$?

Comments

Nein aber wieso kann ich (0, -1) da als Bild auswählen?

0 und -1 müssen ja in Verbindung zueinander stehen (x, x² ). Und 0 hoch zwei ist nicht -1.

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Du kannst doch alles aus $\mathbb{R}^2$ wählen. Und da $(0,-1)$ eben kein Element der Bildmenge ist, ist die Abbildung auch nicht surjektiv. Denn es müsste dann $(0,0)$ herauskommen, wenn $x=0$ ist. Du hättest auch jedes andere Element wählen können, was nicht in der Bildmenge liegt.

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danke! habs jetzt verstanden

Answer 3

Surjektivität heisst, das die Bildmenge einer Funktion mit der ganzen Zielmenge übereinstimmt. D.h. es muss gelten für die Funktion f : |R —> |R² , f(x) := (x, x²),

dass f(|R) = |R² ist.

Es ist aber

f(|R) = {f(x) : x ∈ |R} = {(x, x²) : x ∈ |R} ≠ |R², da z.B. für a < 0, dann (x, a) ∈ |R² ist, aber nicht in f(|R), denn a < 0 ≤ x² für alle x ∈ |R.

Damit kann f nicht surjektiv sein.

Comments

Ein Druckfehlerchen: $0 \leq x^2$ nicht $0<x^2$

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Danke, ist korrigiert.