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Aufgabe:

Für welche Werte von a und b hat das folgende LGS (lineare Gleichungssystem) Ax =b keine, eine, mehrere Lösungen?
\( A=\left(\begin{array}{cccc}{1} & {0} & {0} & {-1} \\ {0} & {1} & {-1} & {1} \\ {0} & {0} & {a} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {b}\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {2} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right) \)


Ansatz:

Ich habe herausgefunden, dass ich bei a=0 und b=0 keine Lösung hätte.

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Für ein quadratisches Gleichungssystem wie vorliegend (Anzahl der Gleichungen (Zeilen) = Anzahl der Variablen (Spalten) = m ) gilt:

Bringt man die um den Ergebnisvektor b = ( b1, ... , bm )  erweiterte Koeffizientenmatrix in obere Dreiecksform, dann kann man die Form der Lösungsmenge aus der letzten Zeile bestimmen:

1) Haben alle Einträge der letzten Zeile außer bm den Wert Null, dann hat das Gleichungssystem keine Lösung. haben.

2) Hat auch bm den Wert Null, besteht also die letzte Zeile nur aus Nullen, dann hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen

3) Andernfalls, also wenn amm≠ 0 , hat das Gleichungssystem genau eine Lösung.

Also bringt man zunächst die erweiterte Koeffizientenmatrix $$\left( { \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & a & 0 \\ 0 & 1 & 0 & b \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} } \right)$$in obere Dreiecksform. Dazu vertauscht man zunächst die beiden letzten Zeilen:$$\left( { \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & b \\ 0 & 0 & a & 0 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} } \right) $$Dann: Dritte Zeile = Dritte Zeile - zweite Zeile:$$\left( { \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & b-1 \\ 0 & 0 & a & 0 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} } \right) $$und dann: Vierte Zeile = Vierte Zeile - a * Dritte Zeile:$$\left( { \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & b-1 \\ 0 & 0 & 0 & -a(b-1) \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -2 \\ 1+2a \end{matrix} } \right) $$

Aus den oben genannten Kriterien ergibt sich dann:

1) Keine Lösung, wenn gilt:

- a ( b - 1 ) = 0 und 1 + 2 a ≠ 0

<=> ( a = 0 oder b = 1 ) und 1 + 2 a ≠ 0

<=> ( a = 0  und 1 + 2 a ≠ 0 ) oder ( b = 1 und 1 + 2 a ≠ 0 )

Für a = 0 ist 1 + 2 a = 1 , also immer ungleich 0, daher:

<=> ( a = 0 ) oder ( b = 1 und 1 + 2 a ≠ 0 )

<=> a = 0 oder ( b = 1 und a ≠ - 1 / 2  )

2) unendlich viele Lösungen, wenn gilt:

- a ( b - 1 ) = 0 und 1 + 2 a = 0

<=> ( a = 0 oder b = 1 ) und 1 + 2 a = 0

<=> ( a = 0 und 1 + 2 a = 0 ) oder ( b = 1 und 1 + 2 a = 0 )

Für a = 0 ist 1 + 2 a = 1 , also immer ungleich 0, daher ist der erste Term der oder-Verknüpfung immer falsch. Es verbleibt:

<=> b = 1  und 1 + 2 a = 0

<=> ( b = 1 und a = - 1 / 2  )

3) genau eine Lösung, wenn gilt:

- a ( b - 1 ) ≠ 0

<=> a ≠ 0 und b ≠ 1

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danke sehr :)

Ich habe es verstanden... ich habe hier noch eine Aufgabe...ich weiß nicht wie ich d) lösen sollviereck

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