Landau Symbole berechnen und nach s auflösen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Funktionen \( f_{i}: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, i=1,2 \), mit
\( f_{1}(x):=\frac{1-\cos x}{\sqrt{|x|}}, \quad f_{2}(x):=e^{-\frac{1}{x^{2}}} \quad \text { für } x \in \mathbb{R} \backslash\{0\} . \)

Untersuchen Sie für \( i=1,2 \), für welche \( s \in \mathbb{R} \) gilt:
(i) \( f_{i}(x)=o\left(|x|^{s}\right) \) für \( x \rightarrow 0 \),
(ii) \( f_{i}(x)=O\left(|x|^{s}\right) \) für \( x \rightarrow 0 \).

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand erklären wie ich vorgehen kann ich bin hier seit Stunden am verzweifeln, evtl mit einer Art Beispiel.
Ich bestimme jedes mal den Grenzwert jedoch weiß ich dann nicht weiter mit dem s umzugehen, bitte um Hilfe

Answer 1

Für (i) ist folgender Grenzwert nützlich: $$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}= \frac 12 \quad (1)$$

Kann man schnell mit L'Hospital oder Taylor zeigen. So bekommst du

\(\frac{1-\cos x}{\sqrt{|x|}}\cdot \frac 1{|x|^s} = \frac{1-\cos x}{x^2}\cdot |x|^{2-\frac 12 - s} \)

Nun ist

\(\displaystyle \lim_{x\to 0} |x|^{\frac 32 - s} = 0 \Leftrightarrow \frac 32 - s > 0 \Leftrightarrow \boxed{s<\frac 32}\)

Also \(f_1 \in o(|x|^s)\) für \(s<\frac 32\).

Für (ii) kannst du gleich zeigen, dass \(f_2 \in o(|x|^s) \subset O(|x|^s)\) für \(\boxed{s\in \mathbb R}\).

Betrachte dazu am besten \(\ln\left(\frac{e^{-\frac 1{x^2}}}{|x|^s}\right)\) und nutze dabei, dass \(\displaystyle \lim_{x\to 0} |x|\ln|x| = 0\) gilt.