Funktionenschar - welches ist die Ableitung des Volumens eines Rotationskörpers?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Die Funktion h gehört zur Schar der in IR definierten Funktionen $h_{a}$ mit $h_{a}(x)=\frac{1}{a} \cdot\left(a-x^{2}\right) \cdot e^{x}$ und $a \in \mathbb{R}^{+}$. Der Graph von $h_{a}$ wird mit $H_{a}$ bezeichnet.
d) Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass für jedes $a \in \mathbb{R}^{+}$die Funktionswerte von $h_{a}$ genau für $-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}$ positiv sind.
e) Es gibt einen Wert von a, sodass das Produkt der x-Koordinaten der beiden Extrempunkte von $\mathrm{H}_{\mathrm{a}}$ gleich dem Produkt der y-Koordinaten dieser beiden Punkte ist.
Berechnen Sie diesen Wert von a.
Die Schnittpunkte von $\mathrm{H}_{\mathrm{a}}$ mit der x-Achse und der Hochpunkt von $H_{a}$ sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Dieses Dreieck rotiert um die x-Achse.
Die in $\mathbb{R}^{+}$definierte Funktion $v$ gibt das Volumen dieses Rotationskörpers in Abhängigkeit von a an. Abbildung 2 zeigt drei Graphen $\mathrm{G}_{1}, \mathrm{G}_{2}$ und $\mathrm{G}_{3}$, von denen einer die Ableitungsfunktion $\mathrm{v}^{\prime}$ von $v$ darstellt.
Beurteilen Sie ohne Rechnung und unter Verwendung der Tatsache, dass die y-Koordinate des Hochpunkts von $\mathrm{H}_{\mathrm{a}}$ umso größer ist, je größer der Wert von a ist, welcher Graph dies ist.

Problem/Ansatz:

Bei der letzten Frage (Beurteilen Sie…) komme ich nicht weiter. Teil d) und e) habe ich gelöst und den Text mit kopiert, da ich nicht weiß, ob die Ergebnisse vielleicht benutzt werden.

Comments

Wie müßte man argumentieren? Danke.

Answer 1

Ich meine, das ist eine alte Abituraufgabe und ging etwa so, die fläche vom Dreieck wird immer größer und auch das volumen. Also muß der Graph der ableitung immer positiv sein:G1

Comments

Danke! So in etwa war auch meine Überlegung, aber dann irritierte mich die Form der Graphen. Wieso haben die alle einen Extremwert? Ich würde eine positive und immer steigende Kurve erwarten.

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Der Graph und Ableitung sehen z.B. so aus: a = 3

Plotlux öffnen

f₁(x) = 1/3·(3-x²)·exp(x)f₂(x) = ((1/3)·(-2·x))·exp(x)+(1/3)·(3-x²)·exp(x)

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Und wie hilft mir das weiter?

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Danke! So in etwa war auch meine Überlegung, aber dann irritierte mich die Form der Graphen.

Warum teilst du das nicht zu Beginn mit, wenn du die Frage stellst?`

Wieso haben die alle einen Extremwert? Ich würde eine positive und immer steigende Kurve erwarten.

Der Graph $G_1$ ist doch immer positiv. Beachte, dass der Graph die Veränderung des Volumens zeigt. Wieso sollte es also kein $a$ geben, wo diese Veränderung minimal ist? Wieso sollte das Volumen für jedes $a$ immer schneller wachsen und nicht zwischendurch mal langsamer? Das ist für die Aufgabe allerdings unerheblich, denn eben weil das Volumen immer wächst, kann der Graph zu keiner Zeit unterhalb der $a$-Achse verlaufen, weshalb nur noch ein Graph übrig bleibt.

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‚Warum teilst du das nicht zu Beginn mit, wenn du die Frage stellst?`

vielleicht, weil ich es mir in der Zwischenzeit überlegt hatte?

Answer 2

Überlege dir (Skizze), wie sich das Volumen verändert, wenn $a$ größer wird. Was bedeutet das dann für die Ableitung $v'$ und für den zugehörigen Graphen?