Termumformung bei einer Differentialgleichung

Question

Aufgabe:

Ich habe folgende Gleichung einer Differentialgleichung mit Anfangswertaufgabe : dy*sinx/y = cosxdx

Problem/Ansatz:

Ich möchte gerne das Sinx auf die andere Seite des Terms kriegen wie mache ich das?

Comments

Meinst Du diese Gleichung:

\( \frac{d y}{d x} \cdot \frac{\sin x}{y}=\cos x \)
Und wie lautet die Anfangsbedingung?

---

Ja die Gleichung nur das ich halt das dx schon rübermultipliziert habe, meine Frage ist wie ich diesen Term umformen kann damit das sinx noch auf die Rechte Seite kommt und der rest so bleibt wie er ist, also es geht rein um die Termumformung und nicht um die eigentliche Differentialgleichung... stehe da gerade auf dem Schlauch

---

Wie wäre es mit Dividieren? (Dabei sinx≠0 voraussetzen).

---

Hört sich nach nem Plan an.

---

Mit "etwas Gefühl" sieht man die Lösung hier schon durch bloßes Hingucken. :-)

---

Das geht aber leichter in der Originalform, vor der Umformung.

Answer 1

Aloha :)

Ich würde das \(\frac{dy}{dx}\) als \(y'(x)\) stehen lassen und die Gleichung wie folgt schreiben:$$\frac{y'(x)}{y(x)}=\frac{\cos x}{\sin x}$$

Jetzt hast du auf der linken Seite und auf der rechten Seite jeweils die Situation, dass der Zähler die Ableitung des Nenners ist. Das kannst du leicht integrieren:$$\ln\left|y(x)\right|=\ln\left|\sin x\right|+c$$Jetzt setzt du beide Seiten als Argumente in eine Exponentialfunktion ein:$$e^{\ln|y(x)|}=e^{\ln|\sin x|+c}=e^{\ln|\sin x|}\cdot e^c$$Mit der Konstanten \(A\coloneqq e^c\) führt das auf die Lösungen:$$y(x)=A\cdot \sin x$$

Comments

sinx sollte ungleich Null sein und auch negatives A löst die Gleichung.