Aufgabe:
Sei \( G \) eine endlich erzeugte abelsche Gruppe mit einer Darstellung der Form \( \mathbb{Z}^{5} \xrightarrow{R} \mathbb{Z}^{5} \xrightarrow{S} G \), wobei
\( R=\left(\begin{array}{ccccc} 2 & 2 & -8 & -6 & 10 \\ 2 & 8 & -6 & 22 & 0 \\ 2 & 26 & 1756 & -126 & 688 \\ -6 & -6 & -96 & 48 & -30 \\ 10 & 22 & 392 & -30 & 284 \end{array}\right) \)
1. Bestimmen Sie \( r, \ell \in \mathbb{N}_{0} \) und natürliche Zahlen \( n_{1}\left|n_{2}\right| \ldots \mid n_{\ell} \) mit \( n_{i} \mid n_{i+1} \) für \( 1 \leq i \leq \ell-1 \), so dass
\( G \cong \mathbb{Z}^{r} \times \prod \limits_{i=1}^{\ell} \mathbb{Z} / n_{i} \mathbb{Z} \)
2. Bestimmen Sie \( r, s \in \mathbb{N}_{0}, s_{j}, r_{j i} \in \mathbb{Z} \) und Primzahlen \( p_{j} \), so dass
\( G \cong \mathbb{Z}^{r} \times \prod \limits_{j=1}^{s} \prod \limits_{i=1}^{s_{j}} \mathbb{Z} / p_{j}^{r_{j i}} \mathbb{Z} \)
Problem/Ansatz:
Hallo, das ist eine Aufgabe aus meinem Kryptographie-Modul. Ich soll hier die Smith-Normalform berechnen, oder? Aber sitze ich da nicht mehrere Stunden dran? Gibt es vielleicht eine ausgeklügelte Methode, diese Aufgabe zu lösen? Oder ist die Matrix einfach nur ungünstig gewählt?
