Gesucht sind die ganzzahligen Seitenlängen gleichseitiger Dreiecke ABC, die mit einer Strecke \( \overline{CD} \) ganzzahliger Länge (D auf AB) in zwei Dreiecke zerlegt werden. Es ist klar, dass jeweils beide Teildreiecke einen Winkel der Größe 60° besitzen. Sie sollen ‚60°-Dreiecke‘ heißen. Sei \( \overline{CD} \)=c die teilende Strecke (D auf AB) und b=\( \overline{DA} \) sowie a=\( \overline{AC} \) , dann gilt nach dem Kosinussatz
(1) c2=a2+b2-ab.
Dividiert man (1) durch c2 und setzt a/c=x und b/c=y, so erhält man
(2) 1=x2+y2-xy.
Schneidet man diese Ellipse mit der Geraden y=n/m(x+1), so erhält man die Schnittpunkte A(-1|0) und B((m^2-n^2)/(m^2-mn+n^2 )|(2mn-n^2)/(m^2-mn+n^2 )). Ein Vergleich mit den Substitutionen a/c=x und b/c=y führt zu
a=m2-n2
b=2mn-n2
c=m2-mn+n2.
Für natürliche Zahlen m und n (m>n) sind auch a, b und c natürliche Zahlen. In einigen Fällen gibt es Einsetzungen für m und n, sodass a=b=c. Hier gibt es keine Teilung in zwei Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen. Die gesuchten gleichseitigen Dreiecke haben der (Größe nach geordnet) die 12 kleinsten Seitenlängen 8, 15, 16, 21, 24, 30, 32, 35, 40, 42, 45, 48. Diese Zahlenfolge fehlt in der ‚Online Encyclopedia of Integer Sequences‘ (OEIS). Betrachtet man nur die Tripel, die keinen echten gemeinsamen Teiler haben, also die primitiven 60°-Tripel, erhält man die Folge mit dem Beginn 8, 15, 21, 35, 40, 48, 55, 65, 77, 80, …, welche in der OEIS die Nummer A089025 trägt. Die Steckenlängen von \( \overline{CD} \) dieser primitiven 60°-Tripel sind genau die Primzahlen der der Form 6k+1 für natürliche Zahlen k, welche in der OEIS unter A002476 aufgelistet sind.
