Um nach verschiedenen Paaren pythagoreischer Dreiecke gleichen Flächeninhalts zu suchen, klären wir zunächst, wie überhaupt pythagoreische Tripel konstruiert werden. Teilt man die Gleichung a2+b2=c2 durch c2 und setzt a/c=x sowie b/c=y, so erhält man die Gleichung des Einheitskreises x2+y2=1. Die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden y=m/n(x+1) sind [-1|0] und [(n2-m2)/(n2+m2 )|2mn/(n2+m2 )]. Resubstituiert man im zweiten Schnittpunkt a/c=x sowie b/c=y, so erhält man
a=n2-m2, b=2mn, c=n2+m2 .
Für natürliche Zahlen m und n (n>m; n und m heißen ‚Erzeugende‘) ist [n2-m2,2mn, n2+m2 ] ein pythagoreisches Tripel. Wenn die erzeugenden Zahlenpaare der gesuchten Tripel (m,n) sowie (j,k) sind, so muss gelten (n2-m2 )∙m∙n=(j2-k2 )∙j∙k um Flächengleichheit der zugehörigen pythagoreischen Dreiecke zu garantieren. Auf beiden Seiten dieser Gleichung stehen nach Anwendung der dritten binomischen Formel je vier Faktoren, deren Produkte gleich sein müssen. Dies ist insbesondere für j=n der Fall. Zwecks Vereinfachung weiterer Überlegungen setzen wir j=n und erhalten (n2-m2 )∙m∙n=(n2-k2 )∙n∙k. Nach n2 aufgelöst ergibt sich unter Verwendung von (m3-k3)/(m-k)=m2+km+k2 die Gleichung
(1) n2=m2+mk+k2 .
Die Division der Gleichung (1) durch n2 sowie die Substitution von x=m/n und y=k/n führt zu der Ellipsengleichung
(2) 1= x2+ xy+y2.
Für natürliche Zahlen r und s hat die Gerade mit der Gleichung
(3) y=r/s∙(x+1)
eine rationale Steigung. Das System aus (2) und (3) hat die Lösungen [-1|0] und [(s2-r2)/(r2+rs+s2 ),(r2+2rs)/(r2+rs+s2 )]. Resubstituiert man im zweiten Schnittpunkt m/n=x sowie k/n=y, so erhält man
(4) m=s2 -r2
(5) n=r2+rs+s2
(6) k=r2+2rs
Für r=1 und s=2 erhält man zum Beispiel m=3, n=7 und k=5 und dann die pythagoreischen Tripel (40, 42, 58) und (24, 70, 74), welche flächengleiche rechtwinklige Dreiecke repräsentieren. Damit gehören auch die Tripel (20, 21, 29) und (12, 35, 37) zu den Paaren flächengleicher rechtwinkliger Dreiecke. Weitere Paare solcher Dreiecke erhält man durch Einsetzung natürlicher Zahlen für r und s in die Gleichungen (4), (5) und (6) und anschließender Erzeugung von Tripeln aus Paaren (m, n) bzw. (n, k). Manchmal haben die sechs Zahlen der beiden Tripel einen gemeinsamen Teiler. Nach Division durch diesen Teiler erhält man ein weiteres Exemplar der gesuchten Paare pythagoreischer Dreiecke. Ob auf diese Weise alle Paare flächengleicher pythagoreischer Tripel konstruiert werden können, ist nicht sicher, weil die Übereinstimmung in einer Erzeugenden der beiden Tripel willkürlich war.
