Vollständige Induktion 2^n > n

Question

Aufgabe:

Für alle n ∈ ℕ gilt 2ⁿ  > n

Problem/Ansatz:

Ich verstehe einfach nicht wie diese gelbe 2 da hin kommt 2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ * 2 das verstehe ich noch wegen dem Potenzgestzten aber ich habe 2ⁿ * 2 > n  wie kommen die auf die 2 vor dem n und warum genau 2 würde da auch was anderes stehen können?

Comments

Die Induktions Voraussetzung ist \(2^n>n\). Multiplizieren diese Ungleichung mit 2 und erhalte

$$2 \cdot 2^n > 2 \cdot n$$

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Aber warum multipliziert man das mit 2?

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Du hast eine Abschätzung für 2^n und brauchst eine Abschätzung für \(2 \cdot 2^n\). Dann liegt das doch nahe.

Im übrigen hat ein Beweis immer auch eine kreative Komponente-man muss sich etwas einfallen lassen. Man kann einen Beweis nicht errechnen.

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Schau die komplette Antwort der KI an, da steht (hoffentlich) auch die Ind. Beh..

Du kannst deine Frage ja auch der KI stellen, oder/und sie bitten dir das Prinzip der vollständigen Induktion zu erklären.