Wie funktioniert der Ersatz von SIN²(τ)

Question

Aufgabe:

  dα / dτ = COS(φ) / (1 - SIN²(τ)·SIN²(φ))

Wie funktioniert der Ersatz von

SIN²(τ)

in obiger Gl. mit

TAN(α) = COS(φ) TAN(α),

um auf
dα / dτ = COS(φ) COS2(α) + SIN2(α) / COS(φ)

zu kommen?

Answer 1

Zunächst:

$$\tan(\alpha)=\cos(\phi)\tan(\tau)$$

Es gilt allgemein:

$$(1) \quad \sin(x)^2=\frac{\tan(x)^2}{1+\tan(x)^2} \qquad \cos(x)^2=\frac{1}{1+\tan(x)^2}$$

Ich benutze die Abkürzungen \(s:=\sin(\phi), c:=\cos(\phi),T:=\tan(\alpha)\). Dann gilt für den Nenner der ersten Variante:

$$1-s^2\frac{\frac{T^2}{c^2}}{1+\frac{T^2}{c^2}}=1-\frac{s^2T^2}{c^2+T^2}=\frac{c^2+c^2T^2}{c^2+T^2}$$

Und für die erste Variante:

$$\frac{\cos(\phi)}{1-\sin(\tau)^2\sin(\phi)^2}=c\frac{c^2+T^2}{c^2+c^2T^2}=c\frac{1}{1+T^2}+\frac{1}{c}\frac{T^2}{1+T^2}$$

Mit (1) ist dies die 2. Variante