Zeigen Sie, dass f bijektiv ist, und bestimmen Sie f

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Abbildung f : N −→ N, die gegeben ist als
f(n) := (
n + 1, falls n ungerade ist,
n − 1, falls n gerade ist,
n ∈ N.
Zeigen Sie, dass f bijektiv ist, und bestimmen Sie f⁻¹ : N −→ N…

Problem/Ansatz:

Hallo, ich möchte nur wissen, ob mein Beweis gut ist, ich bin neu im Studium und weiß manchmal nicht ob meine Beweisideen gut genug sind. Also meine Lösung:

--> f injektiv:

Wenn f injektiv ist gilt: ∀n1,n2 ∈ ℕ: f(n1)=f(n2) → n1=n2

Angenommen es gilt f(n1)=f(n2) für n1≠n2: Sei nun n1,n2 ungerade: f(n1) = n1 + 1 und f(n2)= n2 +1 ; da f(n1)=f(n2) ist auch n1+ 1 = n2 + 1 ⇔ n1 = n2. Das ist ein Widerspruch, für f(n1)=f(n2) muss n1=n2 gelten, somit ist auch bewiesen das f injektiv ist.

--> f surjektiv:

Wenn f surjektiv gilt: ∀m ∈ ℕ: ∃n ∈ ℕ: f(n)=m

Setzt man für n ungerade: f(m-1) = (m-1)+1 = m, m ∈ ℕ → für ungerade n lässt sich jede Zahl m darstellen. Für n gerade; f(m+1)= (m+1)-1= m. für gerade n lässt sich ebenfalls jede Zahl m darstellen. Somit ist f auch surjektiv. Da f injektiv und surjektiv ist, ist f bijektiv.

f^-1 : N → N bestimmen:

f(n) :=

n - 1, falls n ungerade

n +1 falls n gerade

Comments

Zur Injektivität:

Du hast nicht argumentiert, wieso es reicht anzunehmen, dass \(n_1,n_2\) beide ungerade seien. Dass der Beweis für "\(n_1,n_2\) beide gerade" analog vonstattengeht (was du natürlich trotzdem auch irgendwo sagen musst!), was ist aber mit dem Fall, dass eins von beiden ungerade und das andere gerade ist?

Surjektiv:

Da sind einige Schreibfehler. Du führst ein \(n\) ein und benutzt es dann nie. Außerdem musst du ein bisschen aufpassen, einfach Funktionsterme anzugeben, ohne nochmal zu erwähnen, dass du jetzt im Fall "gerade" oder im Fall "ungerade" bist.

Dein behauptetes Inverses ist kein Inverses. Nimm doch mal \(n=5\), das ist ungerade, also ist \(f(5)=6\). Da das jetzt gerade ist, ist \(f^{-1}(f(5))=7\).

Wortwahl bei Injektiv/Surjektiv:

Du sagst: "Wenn \(f\) injektiv ist, dann gilt: \(\forall n_1,n_2\in\mathbb{N}:(f(n_1)=f(n_2)\implies n_1=n_2)\).", und hast das dann gezeigt. Wenn man dich jetzt beim Wort nimmt und ganz kleinkariert ist, dann hast du nachgerechnet, dass eine für Injektivität notwendige Eigenschaft gilt. Damit hast du über Injektivität keine Aussagekraft. Was du tatsächlich meinst, ist dass Injektivität äquivalent ist zu [...], also auch hinreichend. DAS ist die Rechtfertigung für deinen Beweis.

Wenn du diese Fehler verbesserst, dann sieht alles gut aus meiner Meinung nach. Mein eigener Ansatz wäre hier, den Beweis genau entgegengesetzt der Aufgabe zu führen. D.h. wir geben ein beidseitiges Inverses an, und daraus folgt die Bijektivität.

Wenn du dir die Funktion mal ganz genau anschaust, dann tauscht sie Zweierpäckchen. D.h. Die Funktion schickt \(1\) auf \(2\), \(2\) auf \(1\), \(3\) auf \(4\), \(4\) auf \(3\) usw. Wie du noch ganz oft überall benutzen wirst, sind solche Vertauschungen grundsätzlich selbstinvers. Es bietet sich hier also an, zu behaupten, dass \(f^2=\mathrm{id}_\mathbb{N}\), also \(f^{-1}=f\), was du leicht mit einer Fallunterscheidung überprüfen kannst. Bijektivität ist äquivalent zur Existenz eines beidseitigen Inversen, das ist hier gefunden, und du wärst fertig. Alles, was du zu tun hast, ist überprüfen, ob dieser Fakt bei euch auch vorkam.