Notwendige und hinreichende Bedingungen anwenden. Logische Schlüsse mit Pfeilen darstellen.

Question

Ich habe Schwierigkeiten normale und hinreichende Bedingungen auf Aufgaben anzuwenden.

Hinreichend: Aus A folgt B. Damit B erfüllt ist, muss nicht zwangsläufig A eingetreten sein. A->B.
A ist hinreichend für B

Notwendig: Wenn B eintritt, muss A erfolgt sein. A ist notwendig für B. B -> A.

 

So die Theorie. Nur weiß ich nicht wie ich das auf Aufgaben anwenden kann. 

 

Die Gleichung 2x-4=2 ist nur erfüllt, wenn x=3 ist

Wie kann ich hier vorgehen um zu wissen in welche Richtung ich den Pfeil schreiben muss? bzw. woher weiß ich was hier mein A und B ist? 

Nachtrag aus dem Kommentar: Die genaue Aufgabe lautet:

Stellen Sie die logischen Schlüsse in den folgenden Aussagen mit Hilfe der Implikations- oder Äquivalenz-Pfeile dar.

Answer 1

Du kannst einfach mal beide Richtungen im Kopf durchgehen.

Also die eine Richtung wäre ja: "Wenn 2x-4=2 ist, dann ist x = 3." und die andere wäre "Wenn x = 3 ist, dann ist 2x - 4 = 2". Beide Richtungen stimmen, also ist es ein "genau dann" oder $$2x-4=2 \Leftrightarrow x = 3$$.

Das ist ja auch klar. Es handelt sich um Äquivalenzumformungen und in der Mitte steht der Äquivalenzpfeil. Anders ist es z.B. hiermit:

"Ist eine Funktion f differenzierbar, dann ist sie auch stetig."

Formeltechnisch wäre das $$f~differenzierbar~\Rightarrow~f~stetig$$. Die Umkehrung gilt hier aber nicht allgemein. Dass f stetig ist, ist aber eine notwendige Bedingung, denn die Kontraposition ergibt $$f~nicht~stetig~\Rightarrow~f~nicht~differenzierbar$$.

Comments

Danke, laut Buch ist es aber 2x-4=2 => x=3 und nicht <=>

Jetzt bin ich verwirrt :D

---

Das ist eindeutig eine Äquivalenz.

Wenn x = 3 ist, dann ist 2x-4 = 2*3 - 4 = 6 - 4 = 2.

Wenn 2x - 4 = 2 ist, dann ist x = 3. Eine andere Lösung gibt es ja nicht. Das sind beide Richtungen => und <=. Damit ist es <=>.

Ich meine, natürlich ist beides richtig, von daher steht in deinem Buch ja nichts falsches.

"2x - 4 = 3 => x = 3" ist wahr und "x = 3 => 2x - 4 = 3" ist richtig und damit ist auch "2x-4 = 3 <=> x = 3" richtig. Wenn aber A => B richtig ist, B => A aber falsch ist, dann wäre A <=> B auch falsch.

---

Ich sehe das genauso wie du. Auch in Aufgabe zwei, die lautet:

Wenn x=3 ist, dann ist 2x-4=2

würde ich von einer Äquivalenz und nicht von einer Implikation ausgehen

Denn:

Wenn X=3 impliziert das, dass 2x-4=2 ist.

Umgekehrt gilt das aber doch genauso: Wenn 2x-4=2 sind, impliziert das, dass x=3 ist.

Also 2x-4=2 <=> x=3, richtig?
Auch hier sagt mein Buch: x=3 => 2x-4=2 richtig wäre aber doch <=> zu schreiben. Zumal es das bei dieser Aufgabe auch tut:

Wenn x^2 > 4 ist, dann ist IxI > 2 und umgekehrt

x^2 > 4<=> IxI >2

Die genaue Aufgabe lautet:

Stellen Sie die logischen Schlüsse in den folgenden Aussagen mit Hilfe der Implikations- oder Äquivalenz-Pfeile dar.

---

==> wird in deinem Buch offenbar in Argumantationsketten für 'impliziert' benutzt.

Das kommt durchaus vor.

In diesem Sinn ist: Die Gleichung 2x-4=2 ist nur erfüllt, wenn x=3 ist

Als x=2 ==> 2x-4 = 2 zu lesen. (Obwohl es selbstverständlich in beiden Richtungen stimmt)

---

Okay, aber meine Antwort zu der zweiten Aufgabe war korrekt? Und ich bin schon die ganze Zeit am verzweifeln und frage mich um wieviele Ecken ich denken muss damit ich auf das richtige Ergebnis komme.

---

Wenn x² > 4 ist, dann ist IxI > 2 und umgekehrt

x² > 4<=> IxI >2

korrekt.

Wenn x² > 4 ist, dann ist IxI > 2.

Wäre in der beschriebenen Logik nur:

x² > 4 => IxI >2

Achtung: Ich sehe gerade, dass du in den Definitionen einfache Pfeile '--> ' benutzt hast. Mach das immer gleich.