Zeigen sie: W ist ein Untervektorraum von k^n

Question

Es sei V ein  Vektorraum über einen Körper k und es seine v_{1,. . .} ,vn_n∈ von V. 

Wir betrachten nun: W:= [(x₁,......,x_n) ∈ kⁿ | x₁ * v₁ + . . . + x_n * v_n = 0 }

Zeigen sie: W ist ein Untervektorraum von kⁿ.

Ich weiß, dass für Untervektorräume gilt:

1.) es darf nicht die leere menge sein

2.) Die Addition muss abgeschlossen sein

3.) Die skalare Multiplikation muss abgeschlossen sein.

Aber wie gehe ich in diesem beispiel am besten vor?

Answer 1

1)

Nun, W ist nicht leer, da W zumindest den Vektor (x₁,......,x_n) = ( 0 , 0 , ... 0 ) enthält, denn es gilt:

0 * v₁ + . . . + 0 * v_n = 0

2)

Seien a = ( a₁ ,......, a_n ) und b = ( b₁,......, b_n ) ∈ W.

Zeige, dass dann auch gilt: ( a + b ) = ( ( a₁ + b₁ ) , ... , ( a_n + b_n ) ) ∈ W

a = ( a₁ ,......, a_n ) und b = ( b₁,......, b_n ) ∈ W

=> a₁* v₁ + . . . + a_n* v_n = 0 und b₁* v₁ + . . . + b_n* v_n = 0

=> ( a + b ) * v = ( a₁ + b₁ ) v₁ +  ... + ( a_n + b_n ) * v_n

= a₁ * v₁ + b₁ * v₁ +  ... + a_n * v_n + b_n* v_n

= a₁* v₁ + . . . + a_n* v_n + b₁* v₁ + . . . + b_n* v_n

= 0 + 0

= 0

Also ist auch ( a + b ) ∈ W

3)

Nun versuch dich mal selbst am  Beweis der Abgeschlossenheit von W bzgl. der Skalarmultiplikation.

Comments

Ok bei 3 habe ich dann stehen:

3) Sei a = ( a₁ ,......, a_n )∈ W

Zeige das gilt: λ * a ∈ W also : (λ* a₁* v₁ + . . . + λa_n* v_n) = 0

Da aus der Addition gilt das: a₁* v₁ + . . . + a_n* v_n = 0 kann man schreiben:

λ*(a₁* v₁ + . . . + a_n* v_n)= λ*(0)= 0 

Demnach ist auch λ*a ∈ W!

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Hmm, ja, schon ganz gut, aber so ganz richtig ist das noch nicht:

3) Sei a = ( a₁ ,......, a_n )∈ W

Zeige das gilt: λ * a ∈ W also : (λ* a₁* v₁ + . . . + λa_n* v_n) = 0

Wo kommt plötzlich das λ her und welche Werte kann es annehmen? 

Du müsstest schreiben:

3) Sei a = ( a₁ ,......, a_n )∈ W , λ ∈  K,

Nun weiß man, dass λ ein Element aus dem Körper K ist - und damit weiß man dann auch, welche Werte es annehmen kann.
Und man weiß auch, wie die Addition und die Multiplikation zwischen Elementen aus K definiert sind, insbesondere zwischen λ , den Komponenten a_i der Elemente aus W sowie den Komponenten v_i der Elemente des Vektorraums V über K, die ja alle auch Elemente des Körpers K sind.
Außerdem weiß man dass die Körpergesetze gelten, insbesondere das Distributivgesetz.

 

Da aus der Addition gilt das: a₁* v₁ + . . . + a_n* v_n = 0

Das gilt nicht "aus der Addition" sondern wegen der Definition von W!
Die Elemente x aus W sind ja gerade so definiert, dass gilt: x₁* v₁ + . . . + x_n* v_n = 0
Wenn also a ∈ W ist, dann folgt daraus unmittelbar, dass gilt : a₁* v₁ + . . . + a_n* v_n = 0

So würde ich den Beweis formulieren:

3) Sei a ∈ W und λ ∈ K,

Zeige, dass dann auch gilt: λ * a ∈ W

Beweis:

a = ( a₁ ,......, a_n ) ∈ W

=> a * v = a₁* v₁ + . . . + a_n* v_n = 0

=> ( λ * a ) * v = ( ( λ * a₁ ) * v ₁+ ... + ( λ * a_n ) * v_n )

K ist Körper also gilt das Distributivgesetz, daher:

= λ ( a₁ * v ₁+ ... + * a_n * v_n )

= λ * 0

= 0

=> λ a ∈ W