Hi,
jede Drehmatrix ist orthogonal. Das sieht man wie folgt. Eine allgemeine Drehung setzt sich zusammen aus Drehungen um die x-Achse, y-Achse und z-Achse. Die entsprechenden Drehmatrizen für eine Drehung um eine bestimmte Achse sehen wie folgt aus
$$ R_x(\alpha)=\left( \begin {matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ 0 & sin(\alpha) & cos(\alpha) \end {matrix} \right) $$
$$ R_y(\alpha)=\left( \begin {matrix} cos(\alpha) & 0 & sin(\alpha) \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin(\alpha) & 0 & cos(\alpha) \end {matrix} \right) $$
$$ R_z(\alpha)=\left( \begin {matrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha) & 0 \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {matrix} \right) $$
Jede Drehung berechnet sich nach \( D=R_x(\alpha)*R_y(\beta)*R_z(\gamma) \)
Eine Matrix Q heisst orthogonal wenn gilt \( Q*Q^T=I \)
Man muss nun zuerst mal nachrechnen das \( R_x(\alpha) \), \( R_y(\beta) \) und \( R_z(\gamma) \) die orthogonalitäts Eigenschaft besitz. Benutze dabei das \( sin(\alpha)^2+cos(\alpha)^2=1 \) gilt.
Nun muss man noch nachweisen das \( DD^T=I \) gilt. das geht folgendermaßen. \( DD^T=R_x(\alpha)*R_y(\beta)*R_z(\gamma)*\left(R_x(\alpha)*R_y(\beta)*R_z(\gamma) \right)^T \) daraus folgt $$ DD^T=R_x(\alpha)*R_y(\beta)*R_z(\gamma)*R_z(\gamma)^T**R_y(\beta)^T*R_x(\alpha)=I $$ Weil die einzelnen Drehmatrizen ja orthogonal sind.
