Umkehrfunktion g von f(x) = x^7+x an der Stelle x =2 differenzierbar? g'(2) =?

Question

Von der Funktion f: R-->R  mit f(x) = x⁷ + x ist bekannt, dass f streng monoton waschend und bijektiv ist.

Die Umkehrfunktion nennen wir g .

 

Erläutern sie, warum g in 2 differenzierter ist und bestimmen sie g ´(2).

Hinweis: Berechne sie f(1).

Comments

Du meinst bestimmt: 

Erläutern sie, warum g in  2 (= an der Stelle x= 2) differenzierbar ist und bestimmen sie g ´(2).

Differenzierbar bedeutet, dass die Ableitung existiert (= einen eindeutigen endlichen Wert hat). Ich habe mal die Überschrift entsprechend angepasst.

Nun die Aufgabe klar und lösbar?

Answer 1

Es ist \(f(1)=2\) und \(f'(1)=8\neq0\). Daher ist die Umkehrfunktion \(g\) differenzierbar im Punkt \(2\). Für alle \(x\in\mathbb R\) gilt \(g\big(f(x)\big)=x\). Ableiten liefert nach der Kettenregel$$f'(1)\cdot g'\big(f(1)\big)=1\Leftrightarrow g'(2)=\frac1{f'(1)}=\frac18.$$

Comments

Und mehr soll man dabei nicht zeigen?

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Das genügt vollauf. Wenn du ein Skript zur Verfügung hast, schreibst du statt 'Daher' spezifisch: 'wegen Korollar / Satz Nummer: ....'