Inversion von Matrizen berechnen

Question

Gegeben ist die Matrix

\( \mathbf{B}=\left(\begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 0 & 3 \end{array}\right) \)

(a) Berechnen Sie die zu B inverse Matrix \( \mathbf{B}^{-1} \).

(b) Lösen Sie mit Hilfe der invertierten Matrix das Gleichungssystem

\( \mathbf{B} \vec{x}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right) . \)

Ansatz:

Wie man Determinanten berechnet weiß ich, aber wie rechnet man mit inversen Matrizen? Ich habe unten einen Einstieg hochgeladen. In der Mitte sollen die beiden getrennten Linien eine Linie ergeben.

\( B=\left(\begin{array}{cl}-1 & 1 \\ 0 & 3\end{array}\right) \)
\( B=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 0 & 3\end{array}\right) *\left(\begin{array}{cc}10 \\ 0 & 1\end{array}\right) \)
\( \left|\begin{array}{cc|cc}-1 & 1 \\ 0 & 3\end{array}\right|\left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right| \)

Answer 1

Zu a)

Zur Berechnung der Inversen B ^-1 von B schreibt man die zu invertierende Matrix B hin und rechts daneben, getrennt durch einen senkrechten Strich, die Einheitsmatrix.
Nun formt man die zu invertierende Matrix B durch elementare Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix um und wendet alle dabei verwendeten Umformungen auch auf die rechts stehende Einheitsmatrix um.
Steht auf der linken Seite schließlich die Einheitsmatrix, dann steht rechts vom Strich die Inverse B ^-1

Das sieht dann z.B. so aus:

$$\left( {\begin{matrix} -1 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix} }|{\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} } \right)$$Erste Zeile mit - 1 multiplizieren, zweite Zeile durch 3 dividieren:$$\left( { \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & \frac { 1 }{ 3 }  \end{matrix} } \right)$$Zur ersten Zeile die zweite Zeile addieren:$$\left( { \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} -1 & \frac { 1 }{ 3 }  \\ 0 & \frac { 1 }{ 3 }  \end{matrix} } \right)$$

Also:

$${ B }^{ -1 }=\left( \begin{matrix} -1 & \frac { 1 }{ 3 }  \\ 0 & \frac { 1 }{ 3 }  \end{matrix} \right) $$

 

Zu b)

Damit:

$$B\vec { x } =\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$Von links mit B ^-1 multiplizieren:$$\Leftrightarrow { B }^{ -1 }B\vec { x } ={ B }^{ -1 }\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$$$\Leftrightarrow { E }\vec { x } ={ B }^{ -1 }\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$$$\Leftrightarrow \vec { x } ={ B }^{ -1 }\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac { 7 }{ 3 }  \\ \frac { 2 }{ 3 }  \end{pmatrix}$$

Comments

Du hast bei b) die Vektoren vertauscht, d.h. statt (2|3) hast du ausversehen (3|2) geschrieben. Ich habe eine weitere Frage zu b). Du hast den Vektor B^-1 aus Aufgabe a) mit Vektor Bx multipliziert? Müsste dann b) nicht wie folgt lauten:

\( B^{-1} * \vec{x} \)
\( \left(\begin{array}{cc}-1 & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{1}{3}\end{array}\right) *\left(\begin{array}{l}2 \\ 3\end{array}\right) \)

ABER: Das ist doch nicht möglich, wegen der verschiedene Anzahl von Spalten!