Differentialgleichung lösen. Ist dieser Ansatz richtig?

Question

Aufgabe:

Ich soll alle Lösungen dieser Diff'gleichungen finden, das AWP lösen und und einen maximalen definitionsbereich angeben.

$x^{\prime}=\frac{x}{t^{3}-3 t^{2}+2 t}$
$\frac{d x}{d t}=\frac{x}{t^{3}-3 t^{2}+2 t} \quad \mid * d t$
$d x=\frac{x d t}{t^{3}-3 t^{2}+2 t} \quad \mid: x$
$\frac{d x}{x}=\frac{d t}{t^{3}-3 t^{2}+2 t}$

Ich denke bis hierhin sollten keine Probleme entstanden sein.

Nun das Integral:

$\frac{d x}{x}=\frac{d t}{t^{3}-3 t^{2}+2 t} \quad \mid \int$
$\int \frac{l}{x} d x=\int \frac{1}{t^{3}-3 t^{2}+2 t} d t$
$\ln |x|+c=\ln \left|t^{3}-3 t^{2}+2 t\right|+c_{2} \quad \mid-c$
$\ln |x|=\ln \left|t^{3}-3 t^{2}+2 t\right|+k \quad \mid * e^{\wedge} \quad k=c_{2}-c$
$x(t)=t^{3}-3 t^{2}+2 t+e^{k}$

Hier sollte ich nun eine Probe machen, weiß aber leider auch nicht wie das auszsehen hat.

Die Stellen t=0;t=1;t=2 sind Definitionslücken. Somit ist das maximale Intervall (-∞,0) richtig?

Das AWP dieser Gleichung ist X(2/3)=3 Damit weiß ich überhaupt nichts anzufangen... Kann mir das jemand erklären was ich damit machen soll?

Answer 1

Führe zunächst eine Partialbruchzerlegung durch.$$\frac1{t^3-3t^2+2t}=\frac1{2t}-\frac1{t-1}+\frac1{2(t-2)}$$Mit der Anfangsbedingung bestimmst du die Integrationskonstante.

Comments

Ist das das Integral des Terms? Wovon ich mithilfe des AWP die Konstante errechnen kann, richtig? Also ist ansonsten alles korrekt oder wie darf ich das verstehen?