Divergenz von Folgen mit Wurzel

Question

Ich habe folgendes Problem:

Für k∈ℕ soll gelten ^k√n divergiert gegen unendlich

bzw. 1/(^k√n) konvergiert gegen null

 

Wie soll ich das zeigen?

Answer 1

Sei \(k\in\mathbb N\) fest und \(a_n=\sqrt[k]{n}\) für \(n\in\mathbb N\). Sei \(M\in\mathbb R\) und \(M>0\) beliebig. Dann gilt für alle \(n>M^k\): \(a_n>\sqrt[k]{M^k}=M\), was bedeutet, dass die Folge nicht beschränkt ist.

Answer 2

Zu zeigen ist, dass $$\forall S \in \mathbb{ R }^+ \exists n \in \mathbb{ N } \forall N > n: \sqrt[k]{ n } > S$$.

Die Wurzel ist streng monoton steigend für natürliche Zahlen.

Es ist also

$$\sqrt[k]{ n } > S \Leftrightarrow n > S^k$$

Definiere also $$n(S) := ceil( S^k ) + 1$$, dann gilt die Behauptung.