Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen (a_{n})_{n ∈ ℕ} oder beweisen Sie deren Divergenz:

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) oder beweisen Sie deren Divergenz:

(i) \( a_{n}=\frac{2^{n}-1}{2^{n}+1} \)

\( (i i) a_{n}=\frac{(-1)^{n} n^{2}}{2 n^{2}+4} \)

(iii) \( a_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \)

Answer 1

(i) \( a_{n}=\frac{2^{n}-1}{2^{n}+1} =\frac{1 -1/2^n}{1+1/2^{n}} \)  also Grenzwert 1.

\( (i i) a_{n}=\frac{(-1)^{n} n^{2}}{2 n^{2}+4}= \frac{(-1)^{n}}{2 +4/n^{2}} \)

divergent; denn für großes n sind die Folgenglieder
abwechselnd in der Nähe von 1/2 und von -1/2

(iii) \( a_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \)   Ereitere mit \( \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \)

und du erkennst: es ist 1 / ( \(\sqrt{n+1}+\sqrt{n} \) ) also Grenzwert 0