Bestimmen Sie für die angegeben Abmessung die Funktion f.

Question

Aufgabe:

Bei einseitigen eingeklemmten Blattfedern, auf deren Ende eine Kraft wirkt, kann die Biegung durch eine ganzrationale Funktion vom Grad 3 beschrieben werden. Bestimme für die angegebenen Abmessung die Funktion f.

Answer 1

Nun, die allgemeine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion vom Grad 3 ist :

f ( x ) = a x ³ + b x ² + c x + d

Die Ableitung ist:

f ' ( x ) = 3 a x ² + 2 b x + c 

Die Bedingungen, die man aus der Zeichnung herauslesen kann sind:

f ( 0 ) = 0
f ( 5 ) = - 0,5
f ( 10 ) = - 1,6
f ' ( 0 ) = 0

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

a * 0 ³ + b * 0 ² + c * 0 + d = 0
a * 5 ³ + b * 5 ² + c * 5 + d = - 0.5
a * 10 ³ + b * 10 ² + c * 10 + d = - 1.6
3 a * 0 ² + 2 b * 0 + c = 0

Aus der ersten Gleichung folgt sofort: d = 0 und aus der vierten Gleichung: c = 0

Es verbleibt das System: 

 

a * 5 ³ + b * 5 ² = - 0.5
a * 10 ³ + b * 10 ² = - 1.6

<=>

125 a + 25 b = - 0.5
1000 a + 100 b = - 1.6

erste Gleichung = erste Gleichung * 4  (Vorbereitung des Additionsverfahrens):

<=>

500 a + 100 b = - 2
1000 a + 100 b = - 1.6

Additionsverfahren: zweite Gleichung = zweite Gleichung - erste Gleichung

<=>

500 a + 100 b = - 2
500 a = 0,4

den Wert 0,4 für 500 a in die erste Gleichung einsetzen, zweite Gleichung durch 500 dividieren:

<=>

0,4 + 100 b = - 2
a = 0,4 / 500

<=>

100 b = - 2,4
a = 0,8 / 1000

<=>

b = - 2,4 / 100 = - 0,024
a = 0,0008

Die berechneten Werte für die Parameter a, b, c und d werden nun in die allgemeine Funktionsgleichung (siehe oben) eingesetzt. Dadurch erhält man die gesuchte konkrete Funktion:

f ( x ) = 0,0008 x ³ - 0,024 x ²

Hier ein Schaubild des Graphen dieser Funktion:

 

Neben dem eigentlichen Funktionsgraphen in blau habe ich noch die beiden Geraden y = - 0,5 und y = - 1,6 eingezeichnet, damit man die Funktionswerte an den Stellen x = 5 und x = 10 besser ablesen und mit der Vorgabe vergleichen kann.