Kompositionen von Abbildungen

Question

kann mir irgent einer bei dieser aufgabe helfen, ich verstehe das gar nicht wie man das ausrechnen soll?
a)
Berechnen Sie das Bild des gegebenen Elements p unter der Abbildung F, also F(p).
 

 

b)
Berechnen Sie das Bild des gegebenen Elements q unter der Abbildung G,also G(q).
 

 

c)
Entscheiden Sie, welche Komposition von F und G möglich ist. Aus welchem Vektorraum ist das Bild des gegebenen Elements r unter der Abbildung F∘G bzw. G∘F? Berechnen Sie das Bild von r unter der Abbildung F∘G bzw. G∘F, also (F∘G)(r) bzw. (G∘F)(r).

 

Answer 1

a)

In der Definition der Abbildung F wird dargestellt, auf welche Weise F ein Element ihrer Definitionsmenge R ^2,2 auf die Bildmenge R ³ abgebildet wird:

$$\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \mapsto \left[ \begin{matrix} 2b \\ a+c \\ 2b \end{matrix} \right]$$

Soll nun etwa das Element 

$$p=\left[ \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right]$$

des R ^2,2 abgebildet werden, so muss man die Komponenten von p mit denen der in der Definition angegebenen allgmeinen Form

$$\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right]$$

identifizieren. Man erhält:

a = - 1
b = 0
c = 0
d = - 1

Diese Werte werden nun in das allgemeine Bildelement

$$\left[ \begin{matrix} 2b \\ a+c \\ 2b \end{matrix} \right]$$

eingesetzt. Man erhält:

$$\left[ \begin{matrix} 2b \\ a+c \\ 2b \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2*0 \\ -1+0 \\ 2*0 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{matrix} \right]$$

Also ist:

$$F(p)=F\left( \left[ \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right]  \right) =\left[ \begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{matrix} \right]$$

 

b)

Ebenso macht man es bei der Abbildung G.

Die Identifikation der Komponenten von

$$q=\left[ \begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right]$$

mit denen der in der Definition von G angegebenen allgemeinen Form

$$\left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right]$$

ergibt:

a = -2
b = 0
c = 2

Diese Werte werden nun in das allgemeine Bildelement \(2b-cx\)

eingesetzt. Man erhält:

$$2b-cx=2*0-2x=-2x$$

Also ist:

$$G\left( q \right) =G\left( \left[ \begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right]  \right) =2*0-2x=-2x$$

 

c)

Die Komposition von G o F = F ( G ( r ) ) ist nicht möglich, da die Defintionsmenge von G der Vektorraum R ³ ist, r jedoch Element des Vektorraums R^2,2 ist.
G ( r ) ist also nicht definiert und somit ist auch die Komposition G o F nicht definiert.

 

Die Komposition F o G ist möglich. F o G ist eine Abbildung von R^2,2 nach R_≤1[x].
Das Bild von r unter der Komposition F o G ist Element des Vektorraums R_≤1[x].

Es ist:

$$(F\circ G)(r)=G(F(r))$$$$=G\left( F\left( \left[ \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]  \right)  \right)$$$$=G\left( \left[ \begin{matrix} 2*0 \\ -3+0 \\ 2*0 \end{matrix} \right]  \right)$$$$=G\left( \left[ \begin{matrix} 0 \\ -3 \\ 0 \end{matrix} \right]  \right)$$$$=2*(-3)-0x$$$$=-6-0x$$

Comments

Vielen dank mit der ausführlichen Erklärung, Muss da nicht b) -2x rauskommen

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Natürlich.

Das war der Test, ob du meine Antwort auch ordentlich liest ... Du hast bestanden! ... :-)

Nein, im Ernst, das war ein Fehler meinerseits. Ich habe ihn korrigiert.

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:) vielen dank, hab es jetzt verstanden.