Guten Tage ich soll folgende Abbildungen untersuchen auf injektivität:
a) Sind f und g injektiv, so ist auch g kringel f injektiv.
b) Ist g kringel f injektiv, so ist auch f injektiv.
$$f:M\rightarrow N , g: N \rightarrow L \\ \text{ a) Sei f und g als injektiv } h:= g \circ f \\ \text{ und } (x,y \in M|h(x)=h(y))\text{ definiert. } \\ \text{Zu zeigen: x=y} \\ h:= g \circ f \Longleftrightarrow g(f(x))=g(f(y)) \\ \text{ g injektiv } \Longrightarrow f(x)=f(y) \\ \text{ f injektiv } \Longrightarrow x=y \\ \text{ b) Sei } g \circ f \\ \text{injektiv des weiteren sei:} (\forall x,y ∈ M| g(f(x)) = g(f(y))) , x=y \\ \text{Zu zeigen sei:}(\forall x,y ∈ M| f(x) = f(y)) \Longrightarrow x=y \\ \text{Beweis:} \\(\forall x,y ∈ M| f(x) = f(y)) \\ \text{Da g eine Abbildung ist:} \Longrightarrow g(f(x)) = g(f(y))\Longleftrightarrow g \circ f \\ \text{Da }g \circ f \text{ injektiv ist}\Longrightarrow x=y \text{ auch injektiv } \\ \Longrightarrow \text{demnach ist auch f injektiv: } f(x)=f(y)$$
Ist meine Beweisführung schlüssig bzw. reich es aus? Die Aufgabe kommt mir viel zu einfach vor, bestimmt muss noch was anderes bewiesen werden?
