Sei \( \Phi(t, x, u):=\exp (x-t u)-u \) für alle \( t, x, u \in \mathbb{R} \).
(a) Zeigen Sie, dass die Gleichung \( \Phi(t, x, u)=0 \) in einer Umgebung \( U \) von \( (0, x) \) nach \( u=u(t, x) \) aufgelöst werden kann.
(b) Berechnen Sie \( \partial_{t} u \) und \( \partial_{x} u \) für \( (t, x) \in U \).
(c) Zeigen Sie, dass \( u \) die Burgers-Gleichung löst:
\( \partial_{t} u(t, x)+\partial_{x} \frac{1}{2}(u(t, x))^{2}=0, \quad((t, x) \in U) \)
HINWEIS: \( \Phi(0, x, \exp (x))=0 \)
