Metrik für R, sodass Konvergenzbegriff 'verzerrt wird'

Question

Hi, ich versehe die reellen Zahlen mit der folgenden Metrik: $$d(x,y)=|Q(x)-Q(y)|, wobei Q(x):=\left{ \begin{array}{ll} 1, & x=0\\ \frac{x}{\sqrt{x^2 +1}}, & x\neq 0 \end{array}$$ Ist das wirklich eine Metrik? Symmetrie und positive Definitheit sind klar, aber bei der Dreicksungleichung bin ich nicht sicher. Das Ganze ist deshalb interessant, weil im Falle, dass dies eine Metrik ist, Folgen $$\left{a_n \right}_{n \in \mathbb{N}}~mit~a_n\rightarrow \infinity~wenn~n\rightarrow \infinity(bzgl.~Standardmetrik)$$ dann gegen 0 konvergieren, denn dann gilt: $$lim_{n \rightarrow \infinity} d(a_n,0)=0$$ LG

Comments

Hi mofled, mit welchem Tool hattest du den TeX-Code erstellt? Er wird nicht korrekt angezeigt. Teste auch per https://www.matheretter.de/rechner/latex

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$$ d(x,y)=|Q(x)-Q(y)|,\text{ wobei } Q(x):= \begin{cases} 1 &x=0\\ \frac{x}{\sqrt{x^2 +1}}, & x\neq 0 \end{cases} $$ Für solche Fallunterscheidungen ist die cases Umgebung da. Das Problem oben ist wohl die geöffnete {-Klammer die nicht geschlossen wird. klammern sollten/müssen (je nach Interpreter) immer paarweise auftreten. Soll einseitig die klammer nicht dargestellt werden gibt es \left. bzw. \right. Ferner ist der LaTeX-Befehl für unendlich \infty.