Sie sollen verschiedene Aussagen über das Wachstum einer großen Pflanzenpopulation treffen. Der Einfachheit halber nehmen Sie an, dass die Höhe (in \( \mathrm{cm} \) ) über die Population gleichverteilt ist. Die größten Pflanzen, die Sie in Ihrer Stichprobe gemessen haben, sind \( 10 \mathrm{~cm} \) lang. Sie entscheiden als kleinste Größe \( 0 \mathrm{~cm} \) anzunehmen.
(a) Wie lautet die Formel für die Wahrscheinlichkeitsdichte?
(b) Berechnen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion \( \mathrm{F}_{x}(\mathrm{t}) ! \)
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße \( x \) im Intervall \( [3 ; 7] \) liegt?
(d) Berechnen Sie den Erwartungswert \( \mathrm{E}(\mathrm{x}) ! \)
(e) Berechnen Sie die Varianz \( \mathrm{D}^{2}(\mathrm{x}) ! \)
(f) Wie wahrscheinlich ist es, dass die Höhe der Pflanzen weniger als die Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Meine Lösungsvorschläge:
a) Wahrscheinlichkeitsdichte:
\( \rightarrow f(x) \geq 0 \)
\( \rightarrow \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=1 \)
\( F_{x}(t)=P(X \leq t)=\int \limits_{-\infty}^{t} f(x) d x \)
Bei stetigen Fall gilt:
\( P(a \leq X \leq b)=\int \limits_{a}^{b} f(x) d x=F_{x}(b)-F_{x}(a) \)
b) \( P(0 \leq X \leq 10)=\int \limits_{0}^{10} f(x) d x=F_{x}(10)-F_{x}(0) \)
Goldene Mitte wäre 5
d) \( E(X)=\sum \limits_{i} x_{i}{ }^{*} p_{i} \)
\( E(X)=\int \limits_{-\infty}^{\infty} x^{*} f(x) d x \)
e) \( X \) diskret: \( D^{2}(X)=\sum \limits_{i}\left(x_{i}-E(X)\right)^{2 *} p_{i} \)
\( X \) stetig: \( D^{2}(X)=\int \limits_{-\infty}^{\infty}(x-E(X))^{2 *} f(x) d x \)
\( D^{2}(X)=E\left([X-E(X)]^{2}\right) \)
Verschiebungssatz:
\( D^{2}(X)=E\left(X^{2}\right)-(E(X))^{2}=\int \limits_{-\infty}^{\infty} x^{2} f(x) d x-\left(\int \limits_{-\infty}^{\infty} x^{*} d x f(x)\right)^{2} \)
