Kurvendiskussion. Extremalstellen von f(x)= (x+x^2)/ (e^x) berechnen

Question

Ich möchte die Extremstellen bestimmen (das mache ich ja über die erste Ableitung):

f(x)= (x+x^2)/ (e^x)

f'(x) = (-x^2+x+1)/ (e^x)

Ich hätte jetzt die komplette Gleichung = 0 gesetzt, jedoch kommen bei mir dann nur 2 Lösungen raus und es müssen in diesem Fall 3 Lösungen sein. Kann mir bitte jemand weiterhelfen??

Richtige Lösungen wären: x= 1+(Wurzel 5)/2 und x= 1-(Wurzel 5)/2 (diese beiden habe ich raus bekommen) jedoch fehlt jetzt noch die Lösung x= 0 --> Wieso gibt es hier noch ein x= o???

 

Answer 1

f ( x ) = ( x + x² ) / e^x

Allgemein
[ u / v  ] ´ = ( u ´ * v - u * v ´ ) / v^2

f ´( x ) = [ ( 1 + 2 * x ) * e^x - ( x + x^2 ) * e^x ] / ( e^x )^2
f ´( x ) = [ ( 1 + 2 * x ) - ( x + x^2 )  ] / e^x
f ´( x ) = [  1 + 2 * x - x - x^2   ] / e^x
f ´( x ) = (  1 + x  - x^2   )  / e^x
Stimmt schon einmal
Deine beiden Lösungen sind auch richtig.

Eine weitere Lösung gibt es nicht.
Wenn du x = 0 in f ´( 0 ) einsetzt wird die Funktion nicht 0.

mfg Georg

 

Answer 2

f'(x)= -(x^2-x-1)* e^-x    Die Ableitung ist ein Produkt.

Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor gleich null wird. Da findest Du möglicherweise Deine dritte Lösung. Für x=0 ist die Ableitung aber nicht null, folglich kann es keine Extremstelle sein.

Comments

@gast cb72

Man kann die Ableitung auch als Produkt schreiben.
Aber wie du schon selbst sagst :
Ein Produkt ist null, wenn ( mindestens ) ein Faktor gleich null wird.
e^{-x} kann nicht null werden, weil die e-Funktion immer positiv ist.
Also kann nur der Klammerausdruck 0 werden.
Es gibt nur 2 Lösungen.
mfg Georg