0 Daumen
2k Aufrufe
Betrachtet wird folgende lineare Abbildung Φ: R^3 → R^3 mit Φ(x,y,z) = (x-5y+2z, -x+3y-4z, y+z). 
 Zu Bestimmen ist jeweils Basis von Bild(Φ) und Kern(Φ).
Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Φ: R^3 → R^3 mit Φ(x,y,z) = (x-5y+2z, -x+3y-4z, y+z). 

hat die Abbildungsmatrix

1, -5, 2

-1, 3, -4

0, 1, 1

Die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix spannen das Bild auf.

Ich nenne sie mal v1, v2 und v3 und sehe 7*v1 + v2 = v3

Da v1 und v2 voneinander linear unabhängig sind, bilden v1 und v2 eine Basis des Bildes.

Nun musst du den Kern aber noch berechnen. Es muss Vektoren v≠0 geben, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Berechne einen und gib ihn als Basis des Kerns an.

Avatar von 162 k 🚀

so als erstes vielen dank und ich habe folgende fragen:


wie sehe ich so schnell, welche vektoren mit welchen linear unabhängig sind. probierst du einfach xv+yv=0 und schaust ob es hinhaut?


und das mit dem kern verstehe ich generell. muss ich nicht einfach (x,y,z) (A) = 0 machen? wenn ja , ist das nicht eine Methode um den Kern zu ermitteln? geht es hier nicht um die basis vom Kern?

edit : ok ich habe es nicht genau verstanden mit dem Kern könntest du mir das eventuell auch noch erläutern?

x-5y+2z =0       (I)

-x+3y-4z =0      (II)

y+z =0            (III)

(III) ==> y = -z

Annahme y=1, dann z=-1

in (I) einsetzen

x-5-2=0

==> x=7

Kontrolle in (II)

-7 +3+4 =0

B={(7,1,-1)} ist eine Basis des Kerns.

super vielen dank ich verstehe es so langsam.


was wäre der unterschied wenn nur der Kern verlangt worden wäre statt die basis vom kern?

Dann schreibst du

Kern von phi ist Kern(Φ) = {t*(7,1,-1) | t Element R}

ich hatte fast dasselbe wie du gemacht und kam auf den kern <(-7,-1,1)> da bei mir

x = -7z

y=-z

z=1


ist das auch eine richtige basis vom kern?

oder habe ich irgendwo einen entscheidenden fehler gemacht?


edit : natürlich müsste es stimmen, da es im LGS auch 0 ergibt

ist das auch eine richtige basis vom kern?

Ja. Vergiss beim Angeben einer Basis B=... Menge die Mengenklammern nicht.

wie sehe ich so schnell, welche vektoren mit welchen linear unabhängig sind. probierst du einfach xv+yv=0 und schaust ob es hinhaut? 

Wenn einer in einer Komponente eine 0 hat und der andere nicht, sind die beiden bestimmt nicht lin. abh.

hey ich habe noch eine frage zu deiner abbildungsmatrix die du oben angegeben hattest


1, -5, 2

-1, 3, -4

0, 1, 1


woher weiß ich wie rum ich so eine matrix aufschreibe?

ich hätte es so gemacht :


1 -1 0

5 3 1

2 -4 1



Die Matrix mal den Spaltenvektor (x,y,z) muss den Spaltenvektor (0,0,0) geben.

Daher sollten in jeder Zeile Koeffizienten von x, y und z in dieser Reihenfolge stehen.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community