Basis von Kern und Bild? Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv?

Question

 Betrachten Sie φ∈L(ℝ⁴ ,ℝ³ ) definiert durch:

Bestimmen Sie eine Basis von Kern φ und von Bild  φ. Geben Sie an, ob die Abbildung φ injektiv, surjektiv oder bijektiv ist. Begründen Sie durch eine Rechnung.

Answer 1

Hallo zips,

ich schreibe x = x₁  ;  y = x₂  ;  z = x₃  und  w = x₄

Bild(Φ) =  { [ x + z  ;  2·z - x  ;  4·x + 3·y + z ]  ∈ ℝ³ |  [ x ; y ; z ; w ] ∈ ℝ⁴ } 

Φ  ist nicht injektiv und damit auch nicht bijektiv, weil z.B. alle [ 0,0,0,a ] ∈ ℝ⁴ das gleiche Bild [0,0,0] haben.

Für jedes Element [r,s,t] ∈ ℝ³ hat die Gleichung 

 [ x + z  ;  2·z - x  ;  4·x + 3·y + z ]  = [r ; s ; t]    die Lösung   

           x = 1/3 ·(2·r - s)    ∧   y = - 1/3 · (3·r - s - t)   ∧   z = 1/3 · (r + s)

deshalb ist   [ 1/3 ·(2·r - s)  ;  - 1/3 · (3·r - s - t)   ;  1/3 · (r + s) ;  0 ]  

ein Urbild von   [r ; s ; t]  ∈ ℝ³       →   Φ   ist  surjektiv

Kern Φ  =  { (x,y,z,w) ∈ℝ⁴ |   [ x + z  ;  2·z - x  ;  4·x + 3·y + z ]  = [ 0,0,0] } 

               = { [ 0 ; 0 ; 0 ; w ] | w∈ℝ }

Gruß Wolfgang