Ist die Fourierreihe so etwas ähnliches wie Taylorreihe nur für sin und cos?

Question

Hi Freunde,

ich war lange nicht mehr da^^ jetzt bin ich aber wieder da ^^

ehm eine frage:

Es gibt es ja die Taylorreihe/entwicklung die kann ich ja also ohne die reihe^^ ehm aber jetzt gibt es auch eine fourierreihe?? Oo

ist das so etwas ähnliches wie die taylorreihe nur für sin und cos?

Answer 1

Naja, "so etwas ähnliches" ist das in gewisser Weise schon. Nur benutzt man für eine Taylorreihe als Grundfunktionen die Potenzfunktionen x^k (mit \(k\in N_0\)) und für eine Fourierreihe gewisse trigonometrische Funktionen.

Welche Art von Reihen man zum Zweck einer bestimmten Approximation sinnvollerweise wählt, hängt jedoch ganz vom konkreten Kontext ab.

Comments

Hallo

danke für deine Antwort :-)

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Ich hab irgendwo gelesen, dass die Fourrierreihe dafür da ist, jede Funktion als eine periodische Funktion darzustellen. Ist das richtig?

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Naja, das ist ebenfalls nicht ganz wahr und nicht ganz falsch. Da eine Fourierreihe aus 2π - periodischen Summanden besteht, ist eine daraus resultierende "Fourierfunktion" (falls die Reihe konvergiert) ebenfalls 2π - periodisch. Eine ganz besonders nette und wichtige Eigenschaft der Fouriertheorie ist die, dass man insbesondere jede Funktion f , die auf einem endlichen Intervall [a .... b] stetig und dabei abschnittsweise auch stetig differenzierbar ist und  f(a) = f(b)  erfüllt, durch eine Reihe darstellen kann. Dabei wird die ursprünglich gegebene Funktion über ihr zunächst vorgegebenes Definitionsintervall hinaus periodisch fortgesetzt.

Darauf beruht zum Beispiel die Synthesizer-Technik, mit der man praktisch beliebige Klänge, wie etwa die von Orgelpfeifen, Trompeten, Cembalo, Marimba, Ocarina etc. , aber auch z.B. das Geräusch einer Kettensäge elektronisch synthetisieren kann.

https://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe#Konvergenzaussagen_zur_Fourierreihe