Matrixmenge V:= {((a,b),(c,-a))| a,b,c Element C} , Basis bestimmen, Kern, Bild

Question

Aufgabe:

Sei

\( \mid V:=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & -a\end{array}\right) \mid a, b, c \in C\right\} \subseteq M_{2}(C) \)

wobei C die komplexe Zahlen sind.

Dann ist $$ V $$ ein Teilraum von M₂(ℂ). Man betrachtet dazu die lineare Abbildung

$$ \varphi :V\rightarrow V,\quad A\rightarrow _{ \quad }^{ t }{ A }+A $$, wobei ^tA die transponierte Matrix von A ist.

(a) Bestimmen Sie eine Basis B von V.

(b) Bestimmen sie die Matrix $$ { M }_{ B }(\varphi) $$ von $$ \varphi $$ bzgl. der Basis B.

(c) Bestimmen Sie die Dimension des Kerns und des Bildes von $$ \varphi $$.

Comments

Lese ich das richtig?

A wird zugeordnet 'A_Transponiert' plus A ?

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Richtig, es gab kleine Probleme mit der Darstellung ;)

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$$ B = \left\{ \begin{pmatrix} 1 && 0 \\ 0 && -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 && 1 \\ 0 && 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0  && 0 \\ 1 && 0 \end{pmatrix} \right\} $$
\(B\) ist ein Erzeugendensystem von \(V\). Zeige, dass \(B\) eine Basis ist. Wenn du das geschafft hast, kannst du dich an die nächste Aufgabe machen.