Schreibe den allgemeinen Vektor der Geraden durch A und C hin

Question

Aufgabe Rechnen mit Vektoren, Matrix und Skalarprodukt:

\( \vec{a}:=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right), \quad \vec{c}:=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 5 \\ -1 \end{array}\right), \quad M:=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 4 & -7 \\ 3 & 11 & 10 \end{array}\right) \)

(a) Schreibe den allgemeinen Vektor der Geraden durch \( A \) und \( C \) hin.

(b) Berechne \( \vec{a}+\vec{c}, 5 \vec{c}, \vec{a} * \vec{c} \) und \( \vec{b}:=M \vec{c} \).

(c) Gib irgendeinen Vektor aus \( \langle\vec{a}, \vec{c}\rangle \) an, der weder in \( \langle\vec{a}\rangle \) noch in \( (\vec{c}\rangle \) liegt.

(d) Rechne nach, dass \( \vec{x} *(\vec{y}+\vec{z})=\vec{x} * \overrightarrow{\underline{y}}+\vec{x} * \vec{z} \) ist für alle \( \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in \mathbb{R}^{n} \)

Comments

Ich vermute, dass bei c) die lineare Hülle gemeint ist.

Da würde meine Interpretation von (b) in deiner andern Aufgabe als t * b stimmen.

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@Lu: Ja mit der eckigen Klammer um Vektoren wird meist die lineare Hülle beschrieben, wie auch in diesem Fall.

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Wenn ich die Ecken in den Klammern erkannt hätte, wäre https://www.mathelounge.de/161197/verstandnisfrage-vektoren?show=161261#c161261  klarer gewesen.

Answer 1

Hi,

bei c) ja kannst du. Was sie von dir wollen ist einfach irgendein Vektor der kein Vielfaches von den Vektoren a und c ist.

bei d): Schreib dir die Vektoren auf mit irgendwelchen Platzhalter Buchstaben für die einzelnen Koordinaten, Beispiel:

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} $$

und dann berechne jeweils beide Seiten der Gleichung und guck ob das selbe rauskommt.

Comments

Also kann ich bei c) a-c mache ?

Könntest du es genauer erkllären, das ist mir noch etwas unklar WAS ich da rechnen soll mit Buchstaben

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In diesem Fall schon.

Mit * ist wahrscheinlich das Skalarprodukt gemeint? Wie habt ihr das definiert?

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https://www.mathelounge.de/161197/verstandnisfrage-vektoren?show=161261#c161261

Das müsste mE die lineare Hülle sein.

EDIT: Sorry. Ich meinte c)

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Genau das ist das skalarprodukt

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Ja, dann habt ihr doch bestimmt für Vektoren aus dem ℝⁿ, sowas wie

$$ \vec{x} * \vec{y} := \sum_{i=1}^n x_i y_i $$, wende die Definition auf beide Seiten der Gleichung an

Bei der linken seite überlege dir wie die einträge des vektors $$\vec{y} - \vec{z} $$ aussehen.