Question

Fallunterscheidung Betragsungleichung: |x-2 | · |x-4| > 3

ich habe die Fallunterscheidung aufgestellt, wenn beide Beträge positiv und beide Beträge negativ sind.

Aber ich weiß nicht, wie ich den 3. Fall aufstellen soll:

x>1 und x<-2 ist ja ein unlogisches Intervall:

-2>x>1

Umgekehrt würde es Sinn ergeben:

-2<x<1

Wie muss man da rangehen?

Answer 1

Hier kann man die Beträge bereits am Anfang durch Quadrieren loswerden. Im Verlauf der Rechnung zeigt sich, dass dadurch die Ungleichung auch nicht unnötig verkompliziert wird:

$$ \left|x-2\right| \cdot \left|x-4\right| > 3 \\ \Leftrightarrow\\ \left(\left(x-2\right) \cdot \left(x-4\right)\right)^2 > 3^2\\ \Leftrightarrow\\ \left(\left(x-2\right) \cdot \left(x-4\right)\right)^2 - 3^2 > 0\\ \Leftrightarrow\\ \left(\left(x-2\right) \cdot \left(x-4\right)-3\right) \cdot \left(\left(x-2\right) \cdot \left(x-4\right)+3\right) > 0\\ \Leftrightarrow\\ \left(x-1\right)\left(x-5\right) \cdot \underset{>0}{\underbrace{\left(x^{2}-6x+11\right)}}  > 0\\ \Leftrightarrow\\ \left(x-1\right)\left(x-5\right) > 0\\ \Leftrightarrow\\ x < 1 \quad\textrm{oder}\quad x>5. $$

Comments

Wieso betrachtest du den quadratischen Term nicht weiter?

Weil Sie komplexe Lösungen bringen würden, die nach der Probe sich nicht weiter bewähren?

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Der quadratische Term hat keine reellen Nullstellen. Setze ein beliebiges x ein und stelle fest, dass der quadratische Term grösser als 0 ist. Das genügt um > 0 unter die Klammer zu schreiben.

Answer 2

Fallunterscheidung Betragsungleichung: |x-2 |*|x-4| > 3
Wenn Beträge multipliziert werden, kannst du den Betrag auch um das Produkt schreiben:
|x-2 |*|x-4| > 3

| (x-2)(x-4)| > 3        


Nun kannst du die Fälle unterscheiden
1. Fall x<2   
(x-2)(x-4) > 3

2. Fall 2≤x≤4  
(2-x)(x-4) > 3
3. Fall 4<x

(x-2)(x-4) > 3

Comments

In der Lösung steht

$$\mathcal { L } = ] - \infty , 1 [ \cup ] 5 , \infty [ = \mathcal { R } \backslash [ 1,5 ]$$

 
Wie kommt es genau dazu?

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jede Zahl ist eine Lösung außer 1 ≤ x ≤ 5 (von 1 bis 5 mit 1 und 5)

Answer 3

Du hast doch folgende Fälle

$$  (1) \quad x > 4 $$

$$  (2) \quad 2 \le x \le 4 $$

$$  (3) \quad x < 2 $$

Jetzt für jeden Fall die Beträge entsprechend ihrem Vorzeichen richtig hinschreiben und dann die quadratischen Gleichungen lösen.