Inversion z --> 1/z von Kurven (Komplexe Zahlen). Kreis mit Radius 2 ------> Kurve?

Question

Ich hänge momentan bei einer Aufgabe, die lautet: 

In welche Kurven in der komplexen Ebene gehen die folgenden Kurven bei der Inversion z → 1/z über?

a) Kreis um den Punkt 2j mit Radius 2;

b) Kreis um den Nullpunkt mit Radius 3/4;

c) Untere Hälfte des Kreises um den Punkt 3 mit Radius 1.

Mir würde schon reichen, wenn mir jemand die a erklären könnte, die anderen sollten ja dann analog zu der gehen. Als Ergebnis ist angegeben: Gerade durch -i/4, parallel zu X-Achste. 

Dass bei der a eine Gerade rauskommt, die nicht durch den Nullpunkt geht, hab ich auch herausgefunden. Haben da so eine Tabelle aufgeschrieben, aber wie kann ich ausrechnen, dass diese durch den Punkt -i/4 und parallel zur X-Achse verläuft?

Comments

Inversion z 7→ 1/z

meinst Du sowas wie Kehrwert und die 7 gehört nicht dazu ?

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Ups, ja genau, die 7 gehört nicht dazu. 

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Dann sollte die Polarform handlicher  sein, um den Kehrwert zu bekommen.

Answer 1

Hier mal b) 

b) Kreis mit Radius 3/4 wird zu Kreis um M=0  mit Radius 4/3 um M = 0.

Grund |1/ z| = 1/ |z| = 1/(3/4) = 4/3 und Arg( 1/z) = - arg (z)   .

Comments

Bei a) liegt ja z=0 auf dem gegebenen Kreis. Bei 1/z geht das gegen unendlich, daher sollte da eigentlich eine Gerade rauskommen. 

Weitere Punkte auf dieser Geraden 1/ (4j) = -j/ 4 = -1/4 j

und 1/(2j + 2) = 1/2 * 1/(1+j) = 1/2 * (1-j) / (1 + 1) = 1/4 (1-j) = 1/4 - 1/4j

Verbinde die beiden gefundenen Punkte mit einem Lineal.

Es gibt eine Parallele zur reellen Achse, die durch -1/4 j geht. 

Wenn du noch unsicher bist: weitere Punkte invertieren und nachrechnen.

c) Der Halbmond sollte wieder einen Halbmond ergeben (allerdings eine obere Hälfte). Mach das auch erst mal punktweise. 

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erstmal danke für die Hilfe. A und B konnte ich nun lösen, allerdings schaff ich C immer noch nicht. Laut Lösung muss der Kreis den Mittelpunkt 3/8 und einen Radius von 1/8 haben. Wie komme ich denn da drauf?

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Ok, habs nun doch geschafft. War etwas verwirrt. Also Danke für die Hilfe!

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Schön. Freut mich. Gratuliere dir zu deiner Rechnung!