Grenzwert berechnen: Σ (5+(-1)^n)/3^n) von n = 0 bis inf

Question

Σ (5+(-1)ⁿ)/3ⁿ)

= Σ (6/3^{n gerade}) + Σ (4/3^{n ungerade})

linke Seite:

= Σ (6/3^2k) mit k von N = Σ (6/9ⁿ) = Σ 6*(1/9ⁿ) => q = 1/9

geom. Reihe. 6 * (1/(1-1/9)) = 6 * 9/8 = 54/8

rechte Seite:

= Σ (4/3^2k-1)

Wie gehe ab hier voran? Oder bin ich auf dem falschem Pfad? :c

Answer 1

Mein Vorschlag zu (b) von https://www.mathelounge.de/175102/sei-n-aus-n-berechne-σ-n-tief-m-1-2-m-von-m-0-bis-n-und-σ-5-1-n-3-n#c175125

war:

Σ ((5+(-1)ⁿ)/3ⁿ) = Σ (5 /3ⁿ) + Σ ((-1)ⁿ)/3ⁿ) 

Da beides konvergente geometrische Reihen sind, kannst du sie separat berechnen und dann die Resultate addieren.

Comments

Dein Weg:

 Σ (4/3^2k-1)    | Rechne oben und unten jeweils mal 3.

= Σ (12/3^2k) 

Nun kommst du bestimmt selbst weiter.

Schau dann als Kontrolle noch, ob mein Weg dasselbe Resultat liefert. (Sollte eigentlich).

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Okay, vielen Dank.

Ist das selbe rausgekommen. Habe den anderen Weg auch zuerst benutzt, aber dann dachte ich an die alternierende Folge, ob man das auch so machen kann. Naja.