Teilraum / Basis / Dimension

Question

Aufgabe (Teilraum):

Sei \( n=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \) und sei \( U:=\left\{v \in \mathbb{R}^{3}:\langle n, v\rangle=0\right\} \).

(a) Zeigen Sie, dass \( U \) ein Teilraum von \( \mathbb{R}^{3} \) ist.

(b) Bestimmen Sie eine Basis von \( U \). Welche Dimension besitzt \( U \)?

Answer 1

$$\text{Sei }v=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in U.\text{ Dann ist }0=\langle n,v\rangle=x+y+z\text{, also }z=-x-y.$$$$\text{Es folgt }v=\begin{pmatrix}x\\y\\-x-y\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}.$$