Zu zeigen ist das T 1 ein Teilraum des C 3 ist

Question

kann mir einer bitte bei dieser Aufgabe helfen, mit erklärung bitte.

Aufgabe:

Gegeben seien die Mengen
$$ T_{1}=\left\{\left[\begin{array}{l} {a} \\ {b} \\ {c} \end{array}\right] \in \mathrm{C}^{3} | 3 a+2 c=0\right\} \subseteq \mathrm{C}^{3}, \quad T_{2}=\left\{\left[\begin{array}{l} {a} \\ {b} \\ {c} \end{array}\right] \in \mathrm{C}^{3} | a b c=0\right\} \subseteq \mathrm{C}^{3} $$
a) Zeigen Sie, dass \( T_{1} \) ein Teilraum des \( C^{3} \) ist.
b) Zeigen Sie, dass die Menge
$$ \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{r} {-2} \\ {0} \\ {3} \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} {0} \\ {i} \\ {0} \end{array}\right]\right\} $$
linear unabhängig ist und ein Erzeugendensystem von \( T_{1} \) bildet. Folgern Sie, dass \( \mathcal{B} \) eine Basis von \( T_{1} \) ist.
c) Bestimmen Sie die Dimension von \( T_{1} \)
d) Zeigen Sie, dass \( T_{2} \) kein Teilraum des \( \mathbb{C}^{3} \) ist.

Answer 1

a) Stichwort Untervektorraum bzw. Abgeschlossenheit bezüglich Addition und Skalarmultiplikation. (Bedenke dass es sich hier um ℂ-Vektorräume handelt)

b) Lineare Abhängigkeit 2er Vektoren zeigst du, indem du nachweist, dass man den einen Vektor nicht als Vielfaches des anderen Vektors ausdrücken kann. Damit B ein Erzeugendensystem für T1 bildet musst du nachweisen, dass jedes Element aus T1 sich durch die lineare Kombination der beiden Vektoren aus B darstellen lassen kann.

c) Die Dimension einer Basis ist grade die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren die die Basis bilden.

d) Such dir 2 Vektoren aus T2, sodass ihre Summe nicht mehr in T2 liegt (Gegenbeispiel)

Gruß

Comments

vielen dank,

bei aufgabe b habe ich raus: es ist linear unabhängig r=s=0, aber es ist kein erzeugendensystem

weil da kommt s( 0 1  0) raus statt s( 0 i 0).

stimmt das?

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der vektor (0,1,0) erzeugt denselben ℂ-UVR wie (0,i,0), denn

(0,i,0) = i*(0,1,0) und (0,1,0) = -i*(0,i,0)