F1 und F2 Brennpunkte einer Ellipse in der euklidischen Ebene?

Question

Aufgabe:

Es seien $F_{1}$ und $F_{2}$ verschiedene Punkte in der euklidischen Ebene mit Abstand $2 f$. Die Menge $E$ der Punkte $P$ der Ebene, für die die Summe der Abstände von $P$ zu $F_{1}$ und $F_{2}$ einen konstanten Wert $2 a>2 f$ hat, ist definitionsgemāls eine Ellipse. Die Punkte $F_{1}$ und $F_{2}$ heißen die Brennpunkte der Ellipse.

Um zu einer Beschreibung der Ellipse in Koordinaten zu kommen, gehen wir so vor: Wir wählen ein kartesisches Koordinatensystem so, dass $F_{1}=(-f, 0)$ und $F_{2}=(f, 0)$.

Zeigen Sie:

$E=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid\left(\frac{x}{a}\right)^{2}+\left(\frac{y}{b}\right)^{2}=1\right\}$

wobei $b=\sqrt{a^{2}-f^{2}}$. Man nennt a den großen und $b$ den kleinen Halbmesser der Ellipse.