Eine Frage zu komplementären Unterräumen und idempotenten Abbildungen

Question

Sei V ein K-Vektorraum und f: V → V eine lineare Abbildung mit f ° f  = f

a) Zeigen sie, dass ker(f) und im(f) zwei komplementäre Unterräume von V sind.

b) Sei v ∈ V und λ ∈ K mit f(v) = λu . Beweisen sie: λ∈ {0,1}.

Answer 1

Zeige, dass Kern und Bild nur den Nullvektor gemeinsam haben und die Summe dieser Unterräume V ist, z.B. indem man einen beliebigen Vektor v als Summe eines Kern- und eines Bildelements zerlegt.

Nutze: f(v)=f²(v)