Für eine Matrix A ∈ Rn×n bezeichnen wir die folgende Norm: n
∥A∥1 := maxj=1..n ∑n i=1 |aij |
als Spaltensummennorm. In dieser Aufgabe wollen wir zeigen, dass ∥A∥1 die von der l1-Norm (Aufgabe 1) induzierte Matrixnorm ist, und die Schreibweise damit gerechtfertigt ist. Achtung: Wir verwenden die gleiche Schreibweise für Matrizen und Vektoren, d.h. für eine Matrix bezeichnet ∥A∥1 die Spaltensum- mennorm, für einen Vektor steht ∥x∥1 für die l1-Norm.
a) Zeigen Sie, dass für jeden Vektor x ∈ Rn mit ∥x∥1 = 1 gilt, dass: ∥Ax∥1 ≤ ∥A∥1.
b) Sei für festes A ∈ Rn×n die natürliche Zahl k so gewählt, dass ∥A∥1 = ∑ni=1 |aik|. Zeigen Sie, dass für den k-ten Einheitsvektor ek ∈ Rn gilt, dass
∥Aek ∥1 = ∥A∥1 .
Dabei ist ek der Vektor, dessen k-ter Eintrag gleich 1 ist, alle übrigen Einträge sind gleich 0.
c) Folgern Sie aus a) und b), dass die Spaltensummennorm tatsächlich die von der l1-Norm induzierte Matrixnorm ist.
