Lagebeziehung Ebene / Ebene beide in der Parameterform

Question

Aufgabe:

a) \( \mathrm{E}: \mathrm{x}=\left(\begin{array}{c}{4} \\ {-1} \\ {10}\end{array}\right)+\mathrm{t} \cdot\left(\begin{array}{c}{2} \\ {-1} \\ {2}\end{array}\right)+\mathrm{s} \cdot\left(\begin{array}{c}{3} \\ {0} \\ {2}\end{array}\right) \\ \mathrm{F} :X =\left(\begin{array}{l}{2} \\ {3} \\ {3}\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right)+u \cdot\left(\begin{array}{c}{1} \\ {-2} \\ {2}\end{array}\right) \)

b) \( E: x=\left(\begin{array}{c}{2} \\ {-1} \\ {0}\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}{1} \\ {2} \\ {0}\end{array}\right)+\mathrm{s} \cdot\left(\begin{array}{c}{5} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right) \\ F: x=\left(\begin{array}{l}{2} \\ {3} \\ {2}\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right)+u \cdot\left(\begin{array}{c}{1} \\ {-2} \\ {2}\end{array}\right) \)

Wir haben im Kurs einen "Lernblatt" bekommen auf der erklärt wird wie man die Lage zwischen zwei Ebenen bestimmen kann wenn beide in der Parameterform vorliegen.
Laut dem Beispiel (auch da kann ich die Lösung nicht nachvollziehen) soll man erstmal die beiden Ebenen gleichstellen und die eine von der anderen abziehen, und dann ein LGS aufstellen:

a)                                                                                     b)
      I)  2t    + 3s    - r      -  u = -2                                            I)    t   + 5s   - r       - u = 0
     II)  - t                - r     + 2u = 4                                           II)  2t   +   s    - r   - 2u = 4
    III)  2t    + 2s              - 2u = -7                                        III)                          + 2u = 2

Ich komme auf diesen LGS & laut meinem Lehrer soll ich das jetzt so umformen, das entweder t und s alleine bleiben oder r und u. Dies dann so umformen das ein Buchstabe alleine steht bsp: t = u + 4 und diesen dann in die Parametergleichung einsetzen um die Gleichung der Schnittgerade herauszufinden.

Ich kriegs nicht hin das t & s bzw. r & u alleine da stehen.

Comments

Bei b) bekommst du aus (III) schon mal u=1. Das bei (I) und (II) einsetzen.

Answer 1

Hallo thousandseven,

hier rechne ich dir Aufgabe b) durch, damit du den Lösungsweg besser verstehst. Die Rechnerei ist langwierig, deshalb ist es eher wichtiger zu wissen, wie man in jedem Fall vorzugehen hat. Sobald du den Weg verstehst, wird alles andere einrasten! :-)

Du musst dich also für ein Variablenpaar entscheiden, das du benutzen willst, um eine deiner Ebenengleichungen in eine Geradengleichung umzuwandeln. Ich habe mir hier zum Beispiel t vorgenommen. Wenn ich es schaffe t so zu definieren, dass es eine Gleichung mit s als einziger Variablen ist, dann kann ich diesen Ausdruck anstelle von t in die Ebenengleichung für E einsetzen und auflösen.

Es ist am Ende egal, welche Variable du anpeilst, Hauptsache, sie beinhaltet in ihrer Definition die andere Variable, die mit ihr in der Ebenengleichung vorkommt. Nur so kannst du die Variablen einer der Ebenengleichungen auf eine einzige zuschneiden. Willst du also t umdefinieren und substituieren, so muss s drin stecken. Wählst du s, muss wiederum t in seiner Definition stecken. Das gleiche Spiel gilt für r und u.

So kommt am Ende  eine Gleichung mit nur einem Richtungsvektor und einem Parameter raus. Diese Gleichung ist dann meine Schnittgerade.

Wie gesagt, hier will ich t substiuieren durch einen Ausdruck mit s, damit s am Ende meine einzige Variable in E ist.

So gehst du vor:

1. Du stellst ein Gleichungssystem auf:

I.    2 + t + 5s = 2 + r + u
II.   -1 + 2t + s = 3 + r -2u
III.   0 = 2 + 2u

____________________________________

2. Gleichung I wird nach t umgestellt:

 t = r + u - 5s

____________________________________

3. Wir substituieren t mit diesem Ausdruck in Gleichung II:

II.   2(r + u - 5s) + s = 4 + r - 2u

II.   2r + 2u - 9s = 4 + r - 2u

_____________________________________

4. Aus Gleichung III geht eine eindeutige Definition von u hervor:

III.  0 = 2 + 2u

u = -1

_____________________________________

5. Einsetzen von u = -1 in t und Gleichung II:

t = r + (-1) - 5s
t = r - 1 - 5s

II.   2r + 2(-1) - 9s = 4 + r - 2(-1)
II.   2r - 2 - 9s = 6 + r

_____________________________________

6. Gleichung II wird nach r umgestellt:

r = 9s + 8
_____________________________________

7. Einsetzen von r in t

t = (9s + 8) -1 - 5s

t = 4s + 7
_____________________________________

8. Einsetzen von t = 4s + 7 in die Parametergleichung für Ebene E:

2 + (4s +7) + 5s     =   9 + 9s
-1 + 2(4s + 7) + s   =  13 + 9s
0                                =   0

Damit hast du die Schnittgerade:

$$ g:\vec x= \begin{pmatrix} 9\\13\\0 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 9\\9\\0 \end{pmatrix}$$

Ich hoffe, das hilft dir etwas. Solltest du noch Fragen haben, dann kommentiere meine Antwort, damit ich es mitbekomme!