Question

Warum sind Nullstellen einer ganzrationalen Funktion Teiler des Absolutgliedes?

Answer 1

Ich weiß nicht mehr, wie dieser Satz heißt, ich glaube, er stammt von Gauß:

„Hat eine ganzrationale Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten eine ganzzahlige Lösung, so ist sie ein Teiler des absoluten Gliedes“.

Also ist nicht zwangsläufig ein Teiler eine Lösung.

Comments

Ich habe eben nachgesehen, ja, der Satz stammt von Gauß.

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Danke erstmal!  Aber mich interessiert die Herleitung...wenn alle Koeffizienten ganzzahlig sind und alle Exponenten von n über n-1, n-2 usw bis zum Absolutglied ungleich 0 vorhanden sind, so sind einige der Teiler Nullstellen, ja. Aber wie kommt man darauf? :D

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Dieser Satz kann indirekt bewiesen werden, hier wörtlich aus einem Mathebuch:

„Angenommen, die ganzzahlige Lösung x₁ ⧧ 0ist kein Teiler von a₀, also keine ganze Zahl. Dann muss die aus

aⁿx₁ + a_n-1x₁^n-1 +…+a₁x₁ + a₀  = 0

gewonnene Aussage

aⁿx₁^n-1 + a_n-1x₁^n-2 +…+a₁ = -a_0/x₁

falsch sein, ist doch auf Grund der vorausgesetzten Ganzzahligkeit der a_i  und von x₁ die linke Seite ganzzahlig.  Die im Satz vorausgesetzte Existenz einer ganzzahligen Lösung ist keinesfalls grundsätzlich für jede algebraische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten gesichert, sie muss durch Probieren festgestellt werden.“

Es ist also durchaus empfehlenswert, mit den positiven und negativen Teilern des absoluten Gliedes eine erste Lösung zu suchen.