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Aufgabe:

Seien \( M, N \) Mengen, \( A_{1}, A_{2} \subseteq M \) und \( B, B_{1}, B_{2} \subseteq N \) Teilmengen und \( f: M \longrightarrow N \) eine Abbildung.

Beweise die folgenden Aussagen:

(a) \( f^{-1}\left(B_{1} \cup B_{2}\right)=f^{-1}\left(B_{1}\right) \cup f^{-1}\left(B_{2}\right) \)

(b) \( f\left(f^{-1}(B)\right) \subseteq B \).

(c) \( f\left(A_{1} \backslash A_{2}\right) \supseteq f\left(A_{1}\right) \backslash f\left(A_{2}\right) \)

Finde zudem Beispiele, bei denen in (b) und (c) die Inklusionen echt sind.

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z.B. bei (a):
Sei x aus f-1 (B1 ∪ B2 ). Dann die Eigenschaften notieren,
also es gibt ein y aus B1 ∪ Bmit f(x) = y
Dann ist y in B1 oder y in B2, also
x in  f-1 (B1 ) oder x in  f-1 (B2 )
alos x in    f-1 (B1 ) ∪  f-1 (B2 ).

und dann umgekehrt: sei x in    f-1 (B1 ) ∪  f-1 (B2 ).
dann ist ....
Avatar von 287 k 🚀

was ist mit Inklusionen gemeint?

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