Zeigen Sie: Das Minimalpolynom von A ist F(x)

Question

Aufgabe:

Seien $K$ ein Körper, $a_{0}, \ldots, a_{n-1} \in K$ und

$A=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & \ldots & 0 & -a_{0} \\ 1 & 0 & \ldots & 0 & -a_{1} \\ 0 & 1 & \ldots & 0 & -a_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & -a_{n-1} \end{array}\right)$

Zeigen Sie: Das Minimalpolynom von $A$ ist $F(x)=x^{n}+\sum \limits_{i=0}^{n-1} a_{i} x^{i} .$

Hinweis: $(-1)^{n} F(x)$ ist das charakteristische Polynom von $A$ (nach Vorlesung)